Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC. Trên đoạn AC lấy một điểm M ( khác A và C) và vẽ
Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC. Trên đoạn AC lấy một điểm M ( khác A và C) và vẽ đường tròn (T) đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn (T) tại điểm D, khác M. Đường thẳng DA cắt đường tròn (T) tại điểm E, khác D.
a) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng CA là tia phân giác của \(\angle BCE\).
c) Đường thẳng BA và đường thẳng CD cắt nhau tại điểm N; đường thẳng BC cắt đường tròn (T) tại điểm F, khác C. Chứng minh rằng ba điểm F, M , N thẳng hàng.
Quảng cáo
a) A và D kề nhau cùng nhìn BC dưới một góc không đổi.
b) Từ các góc nội tiếp chứng minh \(\angle ACE = \angle ADB\)
c) Chứng minh 2 góc có tổng bằng \({180^0}\)
a) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Ta có: \(\angle CDM = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle CDB = {90^0}\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BAC = {90^0}\)
Tứ giác ABCD có: \(\angle BAC = \angle CDB = {90^0}\) mà hai góc này có đỉnh A và D kề nhau cùng nhìn BC dưới một góc không đổi.
Vậy tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Chứng minh rằng CA là tia phân giác của \(\angle BCE\).
Tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle ACB = \angle ADB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Tứ giác CMDE nội tiếp đường tròn (T) \( \Rightarrow \angle MCE = \angle ADM\) (cùng bù với \(\angle MDE\))
\( \Rightarrow \angle ACE = \angle ADB\)
Suy ra \(\angle ACE = \angle ACB\) (vì cùng bằng \(\angle ADB\))
Vậy CA là tia phân giác của \(\angle BCE\).
c) Đường thẳng BA và đường thẳng CD cắt nhau tại điểm N; đường thẳng BC cắt đường tròn (T) tại điểm F, khác C. Chứng minh rằng ba điểm F, M , N thẳng hàng.
Ta có: \(\angle NAC = {90^0}\) (vì bù với \(\angle BAC = {90^0}\))\( \Rightarrow \angle NAM = {90^0}\)
\(\angle NDM = {90^0}\) (vì bù với \(\angle MDC = {90^0}\))
Tứ giác AMDN có: \(\angle NAM + \angle NDM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
Vậy tứ giác AMDN là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle NAD = \angle NMD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DN) (1)
Tứ giác CDMF nội tiếp đường tròn (T) \( \Rightarrow \angle FCD + \angle FMD = {180^0}\) (tổng hai góc đối nhau trong tứ giác nội tiếp bằng \({180^0}\))
\( \Rightarrow \angle BCD + \angle FMD = {180^0}\)
Tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle NAD = \angle BCD\) (cùng bù với \(\angle FMD\))
Suy ra \(\angle NAD + \angle FMD = {180^0}\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(\angle NMD + \angle FMD = {180^0}\)
Vậy ba điểm F, M, N thẳng hàng (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
