Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:1) \(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 243\).2) \(C_{3n}^1 +

Câu hỏi số 615238:

Thông hiểu

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

1) \(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 243\).

2) \(C_{3n}^1 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 1} = 2048\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615238

Giải chi tiết

1) Ta có: \({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\).

Thay \(x = 2\) ta được \({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n\).

\( \Rightarrow {3^n} = 243 = {3^5} \Leftrightarrow n = 5.\)

2) Ta có: \({\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + C_{2n}^3{x^3} + ... + C_{2n}^{2n - 1}{x^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\).

Thay \(x = - 1 \Rightarrow 0 = C_{2n}^0 - C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} - C_{2n}^3{x^3} + ... - C_{2n}^{2n - 1}{x^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + ... + C_{2n}^{2n - 1} = 2048\\ \Rightarrow \left( {C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ... + C_{2n}^{2n}} \right) + \left( {C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + ... + C_{2n}^{2n - 1}} \right) = 2.2048\\ \Leftrightarrow {\left( {1 + 1} \right)^{2n}} = 2.2048\\ \Leftrightarrow {2^{2n - 1}} = {2^{11}}\\ \Leftrightarrow n = 6.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10