Cho n là số nguyên dương. Chứng minh \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left(

Câu hỏi số 615240:

Vận dụng

Cho n là số nguyên dương. Chứng minh \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615240

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {1 + x} \right)^{2n}} = {\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n}\,\,\forall x\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mà \({\left( {1 + x} \right)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k{x^k}} \)

Trong khai triển trên hệ số của \({x^n}\) là \(C_{2n}^n\) (2)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n} = \left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)\\ = \left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)\left( {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^n} \right)\end{array}\)

Trong khai triển trên hệ số của \({x^n}\) là \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2}\) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \({\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10