Cho n là số nguyên dương. Chứng minh \({\left( {C_n^0} \right)^2} - {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left(

Câu hỏi số 615241:

Vận dụng

Cho n là số nguyên dương. Chứng minh \({\left( {C_n^0} \right)^2} - {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} - ... + {\left( {C_{2n}^{2n}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615241

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + .... + C_{2n}^n{x^n} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\\{\left( {1 - x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 - C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + .... + {\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n{x^n} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\end{array}\).

Hệ số của \({x^{2n}}\) trong tích \({\left( {1 + x} \right)^{2n}}{\left( {1 - x} \right)^{2n}}\) là \({\left( {C_n^0} \right)^2} - {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} - ... + {\left( { - 1} \right)^n}{\left( {C_n^n} \right)^2} + ...{\left( {C_{2n}^{2n}} \right)^2}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác:

\({\left( {1 + x} \right)^{2n}}{\left( {1 - x} \right)^{2n}} = {\left( {1 - {x^2}} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 - C{_{2n}^1^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n + ... + C_{2n}^{2n}{\left( {{x^2}} \right)^{2n}}\)

Hệ số của \({x^{2n}}\) trong khai triển \({\left( {1 - {x^2}} \right)^{2n}}\) là \({\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n\) (2)

Từ (1), (2) ta có: \({\left( {C_n^0} \right)^2} - {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} - ... + {\left( {C_{2n}^{2n}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.