Cho n là số nguyên dương. Chứng minh \({\left( {C_n^0} \right)^2} - {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left(

Câu hỏi số 615241:

Vận dụng

Cho n là số nguyên dương. Chứng minh \({\left( {C_n^0} \right)^2} - {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} - ... + {\left( {C_{2n}^{2n}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615241

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + .... + C_{2n}^n{x^n} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\\{\left( {1 - x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 - C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + .... + {\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n{x^n} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\end{array}\).

Hệ số của \({x^{2n}}\) trong tích \({\left( {1 + x} \right)^{2n}}{\left( {1 - x} \right)^{2n}}\) là \({\left( {C_n^0} \right)^2} - {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} - ... + {\left( { - 1} \right)^n}{\left( {C_n^n} \right)^2} + ...{\left( {C_{2n}^{2n}} \right)^2}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác:

\({\left( {1 + x} \right)^{2n}}{\left( {1 - x} \right)^{2n}} = {\left( {1 - {x^2}} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 - C{_{2n}^1^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n + ... + C_{2n}^{2n}{\left( {{x^2}} \right)^{2n}}\)

Hệ số của \({x^{2n}}\) trong khai triển \({\left( {1 - {x^2}} \right)^{2n}}\) là \({\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n\) (2)

Từ (1), (2) ta có: \({\left( {C_n^0} \right)^2} - {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} - ... + {\left( {C_{2n}^{2n}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^n}C_{2n}^n\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10