Một tỉnh dự định làm đường điện từ điểm A trên bờ biển đến điểm B trên

Câu hỏi số 615628:

Vận dụng cao

Một tỉnh dự định làm đường điện từ điểm A trên bờ biển đến điểm B trên một hòn đảo. B cách bờ một khoảng BB’ = 2km, A cách B’ một khoảng AB’ = 3km (hình vẽ). Biết chi phí làm 1 km đường điện trên bờ là 5 tỷ đồng, dưới nước là 13 tỷ đồng. Tìm vị trí điểm C trên đoạn bờ biển AB’ sao cho khi làm đường điện theo đường gấp khúc ACB thì chi phí thấp nhất (coi bờ biển là đường thẳng).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615628

Giải chi tiết

Gọi C là điểm nằm trên AB’ sao cho B’C = a (km)

Khi đó độ dài đường gấp khúc \(ACB = AC + BC = 3 - a + \sqrt {{2^2} + {a^2}} = 3 - a + \sqrt {4 + {a^2}} \)

Chi phí làm đường điện theo đường gấp khúc ACB là: \(5\left( {3 - a} \right) + 13\sqrt {4 + {a^2}} \)

Giả sử điểm rơi tại a = x

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {2^2}} \right)\left( {{x^2} + {2^2}} \right) \ge {\left( {ax + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 4} \ge \dfrac{{ax + 4}}{{\sqrt {{x^2} + {2^2}} }}\end{array}\)

Ta chọn x sao cho \(\dfrac{{13}}{{\sqrt {{x^2} + {2^2}} }}.x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {2^2}} \right)\left( {\dfrac{{25}}{{36}} + {2^2}} \right) \ge {\left( {\dfrac{5}{6}a + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 4} \ge \dfrac{6}{{13}}{\left( {\dfrac{5}{6}a + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {3 - a} \right).5 + \sqrt {{a^2} + 4} .13 \ge \left( {3 - a} \right).5 + \dfrac{6}{{13}}\left( {\dfrac{5}{6}a + 4} \right).13 = 39\end{array}\)2

Vậy \(C \in AB'\) sao cho \(B'C = \dfrac{5}{6}\) thì chi phí thấp nhất là 39 tỉ.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link