Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\), dây \(CD\) vuông góc với \(AB\)tại \(F\). Gọi \(M\)

Câu hỏi số 615627:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\), dây \(CD\) vuông góc với \(AB\)tại \(F\). Gọi \(M\) là một điểm thuộc cung nhỏ \(BC\) (\(M\) khác \(B\), \(M\) khác \(C\)), hai đường thẳng \(AM\) và \(CD\) cắt nhau tại \(E\).

a) Chứng minh tứ giác \(BMEF\) nội tiếp

b) Chứng minh tia \(MA\) là phân giác của \(\angle CMD\)

c) Chứng minh \(A{C^2} = AE.AM\)

d) Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(MD\) và \(AB\), \(N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM\) và \(BC\). Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CEN\) nằm trên đường thẳng \(CI\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615627

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(BMEF\) nội tiếp

Ta có: \(CD \bot AB\) tại F nên \(\angle EFB = {90^0}\)

Góc \(\angle EMB = \angle AMB = {90^0}\)(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle EMB + \angle EFB = {180^0}\), mà 2 góc này ở vị trí 2 góc đối nhau của tứ giác BMEF.

\( \Rightarrow \) \(BMEF\) là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b) Chứng minh tia \(MA\) là phân giác của \(\angle CMD\)

Ta có: \(AB \bot CD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AB\) đi qua trung điểm của \(CD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow \) Đường kính \(AB\) đi qua điểm chính giữa của cung CD và cắt cung tại A

\( \Rightarrow SdcAD = SdcAC\)

\( \Rightarrow \angle CMA = \angle AMD\) (Trong một đường tròn, 2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau)

\( \Rightarrow \) Tia \(MA\) là phân giác của \(\angle CMD\) (đpcm)

c) Chứng minh \(A{C^2} = AE.AM\)

Ta có: \(\angle ACE = \angle ACD = \angle CMA\) (Trong một đường tròn, 2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau)

Xét tam giác \(\Delta ACE\) và \(\Delta AMC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle ACE = \angle CMA\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle CAM{\rm{ chung}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta ACE\) ∽ \(\Delta AMC\)(g.g)

\( \Rightarrow \) \(\dfrac{{AC}}{{AE}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}\) (2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow A{C^2} = AE.AM\)(đpcm)

Kẻ đường thẳng qua E và vuông góc với CD và cắt CI tại P.

Khi đó EP // FI (cùng vuông góc với CD).

\( \Rightarrow \angle CPE = \angle CIA\) (2 góc đồng vị)

Mà \(\angle CIA = \angle AID = \dfrac{1}{2}\left( {sdcAD + sdcMB} \right)\) (góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {sdcAC + sdcMB} \right) = \angle CNA\) (góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)

\( \Rightarrow \angle CPE = \angle CNA = \angle CNE\), mà 2 góc này là 2 góc có đỉnh kề nhau của tứ giác CNPE.

\( \Rightarrow CNPE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Mà \(\angle CEP = {90^0}\) (theo cách dựng) \( \Rightarrow \angle CEP\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \) \(CP\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CNE\).

\( \Rightarrow CI\) luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CNE\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link