Cho các số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - i} \right| = \left| {{z_1} - 1} \right|,\,\,\left|

Câu hỏi số 615977:

Vận dụng cao

Cho các số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - i} \right| = \left| {{z_1} - 1} \right|,\,\,\left| {{z_2} - i} \right| = \left| {{z_2} - 1} \right|\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4\sqrt 2 \), số phức \(u\) thỏa mãn \(2\left| {u + 2 - i} \right| + 3\left| {u - 1 + 2i} \right| \le 6\sqrt 2 \). Khi đó biểu thức \(P = \left| {u - {z_1}} \right| + \left| {u - {z_2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A. \(3\sqrt 2 \).

B. \(5\sqrt 2 \).

C. \(7\sqrt 2 \).

D. \(9\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615977

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Bunhiacopski.

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( {{a_1};{b_1}} \right),B\left( {{a_2};{b_2}} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1},{z_2}\).

Ta có: \(\left| {{z_1} - i} \right| = \left| {{z_1} - 1} \right|,\,\,\left| {{z_2} - i} \right| = \left| {{z_2} - 1} \right|\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4\sqrt 2 \,\, \Rightarrow A,B\) thuộc đường thẳng \(y = x\) và \(AB = 4\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \)Giả sử \(A\left( {{x_0};{x_0}} \right),B\left( {{x_0} + 4;{x_0} + 4} \right)\).

Giả sử \(u = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\).

\(2\left| {u + 2 - i} \right| + 3\left| {u - 1 + 2i} \right| \le 6\sqrt 2 \Leftrightarrow 2\sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} + 3\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} \le 6\sqrt 2 \) (1).

Đặt \(\overrightarrow a = \left( {a + 2;1 - b} \right),\overrightarrow b = \left( {1 - a;b + 2} \right)\, \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 3\sqrt 2 \).

Ta có: \(2\left( {\sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} } \right) = 2\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right) \ge 2.\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 6\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow 2\sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} + 3\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} \ge 6\sqrt 2 + \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} \ge 6\sqrt 2 \) (2)

Từ (1), (2) suy ra: \(\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\,\, \Rightarrow u = 1 - 2i\).

Khi đó, \(P = \left| {u - {z_1}} \right| + \left| {u - {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{x_0} + 3} \right)}^2} + {{\left( {{x_0} + 6} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {2x_0^2 + 2{x_0} + 5} + \sqrt {2x_0^2 + 18{x_0} + 45} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\left( {\sqrt {{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2} + {3^2}} + \sqrt {{{\left( {2{x_0} + 9} \right)}^2} + {3^2}} } \right)\)\( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\left( {\sqrt {{{\left( { - 2{x_0} - 1} \right)}^2} + {3^2}} + \sqrt {{{\left( {2{x_0} + 9} \right)}^2} + {3^2}} } \right) \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {{{\left( { - 2{x_0} - 1 + 2{x_0} + 9} \right)}^2} + {{\left( {3 + 3} \right)}^2}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.10 = 5\sqrt 2 \).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{ - 2{x_0} - 1}}{3} = \dfrac{{2{x_0} + 9}}{3} \Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{5}{2}\).

\( \Rightarrow \)\({P_{\min }} = 5\sqrt 2 \Leftrightarrow \)\({x_0} = \dfrac{5}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.