Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;6), B(0;1;0) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1}

Câu hỏi số 615978:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;6), B(0;1;0) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 2 = 0\) đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Biểu thức T = a + b + c có giá trị bằng

A. 3.

B. 5.

C. 2.

D. 4.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615978

Phương pháp giải

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d{\left( {I;\left( P \right)} \right)_{\max }}\).

Khảo sát hàm số để đánh giá GTLN.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính R = 5.

Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 2 = 0\) đi qua A, B

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b + 6c - 2 = 0\\b - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\3a + 6c - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2 - 2c\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left( P \right):\left( {2 - 2c} \right)x + 2y + cz - 2 = 0\).

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d{\left( {I;\left( P \right)} \right)_{\max }}\).

Ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left( {2 - 2c} \right).1 + 2.2 + 3c - 2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2 - 2c} \right)}^2} + {2^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| {c + 4} \right|}}{{\sqrt {5{c^2} - 8c + 8} }} = \sqrt {\dfrac{{{c^2} + 8c + 16}}{{5{c^2} - 8c + 8}}} \).

Xét hàm số \(f\left( c \right) = \dfrac{{{c^2} + 8c + 16}}{{5{c^2} - 8c + 8}}\) có

\(\begin{array}{l}f'\left( c \right) = \dfrac{{\left( {2c + 8} \right)\left( {5{c^2} - 8c + 8} \right) - \left( {10c - 8} \right)\left( {{c^2} + 8c + 16} \right)}}{{{{\left( {5{c^2} - 8c + 8} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{10{c^3} - 16{c^2} + 16c + 40{c^2} - 64c + 64 - 10{c^3} - 80{c^2} - 160c + 8{c^2} + 64c + 128}}{{{{\left( {5{c^2} - 8c + 8} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 48{c^2} - 144c + 192}}{{{{\left( {5{c^2} - 8c + 8} \right)}^2}}}\end{array}\)

Giải \(f'\left( c \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\\c = - 4\end{array} \right.\).

Ta có bảng sau:

\( \Rightarrow f{\left( c \right)_{\max }} = 5\) khi c = 1.

\( \Rightarrow d{\left( {I;\left( P \right)} \right)_{\max }} = \sqrt 5 \) khi c = 1.

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow T = a + b + c = 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.