Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x

Câu hỏi số 615979:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}}\). Biết \(f\left( 3 \right) + f\left( { - 3} \right) = 4\) và \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) + f\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = 2\). Giá trị của biểu thức f(-5) + f(0) + f(2) bằng

A. \(5 - \dfrac{1}{2}\ln 2\).

B. \(6 - \dfrac{1}{2}\ln 2\).

C. \(5 + \dfrac{1}{2}\ln 2\).

D. \(6 + \dfrac{1}{2}\ln 2\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615979

Phương pháp giải

Sử dụng \(\int {f'\left( x \right)dx} = f\left( x \right) + C\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}dx} \)

\( = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)} dx = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} + {C_1}\,\,khi\,\,\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\\\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{1 - x}}{{x + 1}} + {C_2}\,\,khi\,\, - 1 < x < 1\end{array} \right.\).

Mà \(f\left( 3 \right) + f\left( { - 3} \right) = 4\) và \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) + f\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = 2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2} + {C_1} + \dfrac{1}{2}\ln 2 + {C_1} = 4\\\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2} + {C_2} + \dfrac{1}{2}\ln 2 + {C_2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} = 2\\{C_2} = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} + 2\,\,khi\,\,\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\\\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{1 - x}}{{x + 1}} + 1\,\,khi\,\, - 1 < x < 1\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}f\left( { - 5} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right)\\ = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2} + 2 + \dfrac{1}{2}\ln 1 + 1 + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3} + 2\\ = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2} + 5 = 5 - \dfrac{1}{2}\ln 2\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.