Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x} \right) = 2x +

Câu hỏi số 615980:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x} \right) = 2x + 2,\forall x\). Khi đó \(\int\limits_1^9 {x.f'\left( x \right)dx} \) bằng

A. 68.

B. \(\dfrac{{68}}{3}\).

C. \(\dfrac{{136}}{3}\).

D. 12.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615980

Phương pháp giải

Tích tích phân bằng phương pháp đổi biến và từng phần.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^9 {x.f'\left( x \right)dx} = \int\limits_1^9 {xd\left( {f\left( x \right)} \right)} \\\,\,\, = \left. {xf\left( x \right)} \right|_1^9 - \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx} \\\,\,\, = 9f\left( 9 \right) - f\left( 1 \right) - \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx} \end{array}\).

Đặt \(u = {x^3} - 3{x^2} + 3x \Rightarrow du = \left( {3{x^2} - 6x + 3} \right)dx\).

Đổi cận:

\(\begin{array}{l}u = 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x = 1 \Leftrightarrow x = 1\\u = 9 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x = 9 \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

Ta có: \(f\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x} \right) = 2x + 2,\forall x \Rightarrow f\left( 1 \right) = 4,\,\,f\left( 9 \right) = 8\).

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^9 {f\left( u \right)du} = \int\limits_1^3 {f\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x} \right)\left( {3{x^2} - 6x + 3} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_1^3 {\left( {2x + 2} \right)\left( {3{x^2} - 6x + 3} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6\int\limits_1^3 {\left( {{x^3} - {x^2} - x + 1} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6\left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} + x} \right)} \right|_1^3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6\left[ {\left( {\dfrac{{81}}{4} - 9 - \dfrac{9}{2} + 3} \right) - \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6\left[ {\dfrac{{39}}{4} - \dfrac{5}{{12}}} \right] = 56\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx} = 56\).

Vậy \(I = 9.8 - 4 - 56 = 12\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.