Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... +

Câu hỏi số 616083:

Vận dụng

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 3} \right)}},\,\,\forall n = 1,2,3,...\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới.

B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.

C. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616083

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left( {{u_n}} \right):\,\,{u_n} = \dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 3} \right)}},\,\,\forall n = 1,2,3,...\\ \Leftrightarrow {u_n} = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{5} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)\\ \Leftrightarrow {u_n} = \dfrac{1}{3}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} - \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)\\ \Leftrightarrow {u_n} = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{11}}{6} - \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} - \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)\end{array}\)

+ Ta có: \(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{n + 1}} \ge - \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}n + 2 \ge 3 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{n + 2}} \ge \dfrac{{ - 1}}{3}\\n + 3 \ge 4 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{n + 3}} \ge \dfrac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow {u_n} \ge \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{{11}}{6} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi \(\dfrac{1}{4}\,\,\left( 1 \right)\)

+) Ta có: \(n > 0,\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n + 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{n + 1}} < 0\)

\(\begin{array}{l}n + 2 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{n + 2}} < 0\\n + 3 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{n + 3}} < 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( { - \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} - \dfrac{1}{{n + 3}}} \right) < 0\\ \Rightarrow \dfrac{{11}}{6} - \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} - \dfrac{1}{{n + 3}} < \dfrac{{11}}{6}\\ \Rightarrow {u_n} < \dfrac{1}{3}.\dfrac{{11}}{6} = \dfrac{{11}}{{18}}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

+) Từ (1), (2) \( \Rightarrow {u_n}\) là dãy số bị chặn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.