Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + xf'\left(

Câu hỏi số 616151:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x + 2,\forall x \in \mathbb{R}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) và y = f’(x) bằng

A. \(\dfrac{5}{2}\).

B. \(\dfrac{4}{3}\).

C. \(\dfrac{1}{2}\).

D. \(\dfrac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616151

Phương pháp giải

Sử dụng đạo hàm của một tích, từ giả thiết \(f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = \left( {xf\left( x \right)} \right)' = 4{x^3} + 4x + 2\) tìm f(x).

Tính f’(x).

Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = f’(x).

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết

Ta có\(f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = \left( {xf\left( x \right)} \right)' = 4{x^3} + 4x + 2\), mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: \(xf\left( x \right) = \int {\left( {4{x^3} + 4x + 2} \right)dx} \), mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow xf(x) = {x^4} + 2{x^2} + 2x + c,\) mọi \(x \in \mathbb{R}\) (*)

Với x = 0 từ (*) ta có c = 0.

Do đó \(xf(x) = {x^4} + 2{x^2} + 2x\)

Suy ra \(f(x) = {x^3} + 2x + 2\), mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

Khi đó \(f'(x) = 3{x^2} + 2\)

Phương trình hoành độ giao điểm giữa y = f(x) và y = f’(x) là

\({x^3} + 2x + 2 = 3{x^2} + 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Diện tích giới hạn bởi y = f(x) và y = f’(x) là:

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right|dx = } \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right|dx + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right|dx} } \)

\( = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right)dx} } \right|\)

\( = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + 2x + 2 - (3{x^2} + 2)} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} + 2x + 2 - (3{x^2} + 2)} \right)dx} } \right| = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.