Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (m là tham số

Câu hỏi số 616152:

Vận dụng

Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\) ?

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616152

Phương pháp giải

Tính \(\Delta '\).

Xét 2 trường hợp:

TH1: Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.

TH2: Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt

Giải chi tiết

\({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} = {m^2} = 2m + 1\).

Theo Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{z_1}.{z_2} = {m^2}\end{array} \right.\)

TH1: Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt \( \Rightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 1}}{2}\)

Để \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)^2} = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {z_1}^2 + 2\left| {{z_1}.{z_2}} \right| + {z_2}^2 = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} + 2\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2{m^2} + 2\left| {{m^2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 1\\m + 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\m = - 2\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2: Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt \( \Rightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phức là \({z_1} = a + bi,{z_2} = a - bi\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\, \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Vậy để \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)

Ta có \({z_1}.{z_2} = {m^2}\)\( \Rightarrow {m^2} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( L \right)\\m = - 1\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn là \(m = 0\) hoặc \(m = - 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.