Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\) ?

Câu 616152: Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\) ?

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Câu hỏi : 616152

Phương pháp giải:

Tính \(\Delta '\).

Xét 2 trường hợp:

TH1: Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.

TH2: Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt

Đáp án : C
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} = {m^2} = 2m + 1\).
Theo Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{z_1}.{z_2} = {m^2}\end{array} \right.\)
TH1: Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt \( \Rightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 1}}{2}\)
Để \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)^2} = 4\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {z_1}^2 + 2\left| {{z_1}.{z_2}} \right| + {z_2}^2 = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} + 2\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2{m^2} + 2\left| {{m^2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 1\\m + 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\m = - 2\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH2: Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt \( \Rightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 1}}{2}\)
Khi đó phương trình có 2 nghiệm phức là \({z_1} = a + bi,{z_2} = a - bi\)
\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\, \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Vậy để \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)
Ta có \({z_1}.{z_2} = {m^2}\)\( \Rightarrow {m^2} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( L \right)\\m = - 1\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn là \(m = 0\) hoặc \(m = - 1\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.