Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét

Câu hỏi số 616634:

Vận dụng cao

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616634

Phương pháp giải

Tính MB theo x.

Tính diện tích các đường tròn đường kính AB, đường kính AM, đường kính MB.

Tính S(x) = diện tích hình tròn đường kính AB – (diện tích hình tròn đường kính AM + diện tích hình tròn đường kính MB).

Giải bất phương trình \(S\left( x \right) \le \dfrac{1}{2}\)(diện tích hình tròn đường kính AM + diện tích hình tròn đường kính MB).

Giải chi tiết

Ta có: AM = x, AB = 4 => MB = 4 – x.

Bán kính đường tròn đường kính AM là \(\dfrac{x}{2}\).

Bán kính đường tròn đường kính MB là \(\dfrac{{4 - x}}{2}\).

Diện tích hình tròn đường kính AM là: \({S_1} = \pi \dfrac{{{x^2}}}{4}.\)

Diện tích hình tròn đường kính MB là: \({S_2} = \pi .\dfrac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\).

Diện tích hình tròn đường kính AB là: \(S = \pi .4\)

\( \Rightarrow S\left( x \right) = \pi .4 - \pi .\dfrac{{{x^2}}}{4} - \pi .\dfrac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4} = \pi .\dfrac{{ - 2{x^2} - 8x + 32}}{4}\).

Yêu cầu bài toán:

\(\begin{array}{l}S\left( x \right) \le \dfrac{1}{2}\left( {{S_1} + {S_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \pi .\dfrac{{ - 2{x^2} + 8x + 32}}{4} \le \dfrac{1}{2}\left( {\pi .\dfrac{{{x^2}}}{4} + \pi .\dfrac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 8x + 32 \le \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} \right)\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 8x + 32 \le {x^2} - 4x + 8\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x - 24 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 5,5\\x \le - 1,5\end{array} \right.\end{array}\)

Mà x > 0 \( \Rightarrow x \ge 5,5.\)

Vậy \(x \ge 5,5.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10