Tìm \(x\), biết :a) \(\left| {x + 3} \right| + \left| {x + 7} \right| = 10\) b) \(\left| {2x + 1}

Câu hỏi số 617742:

Vận dụng

Tìm \(x\), biết :

a) \(\left| {x + 3} \right| + \left| {x + 7} \right| = 10\)

b) \(\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 29} \right| = 30\)

c) \(\left| {x + 3\dfrac{1}{2}} \right| + \left| {2\dfrac{1}{5} - x} \right| = 5\dfrac{7}{{10}}\)

d) \(\left| {3x - 1} \right| + \left| {3x} \right| + \left| {7x - 35} \right| + \left| {7x - 14} \right| = 22\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617742

Phương pháp giải

+ \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\). Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow ab \ge 0\)

+ \(ab \ge 0 \Rightarrow a,b\) cùng dấu. Tức là cùng dương \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b \ge 0\end{array} \right.\) hoặc cùng âm \(\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\b \le 0\end{array} \right.\)

+ Khi kết hợp có thể sử dụng cách biểu diễn trên trục số để dễ hiểu hơn.

Giải chi tiết

a) \(\left| {x + 3} \right| + \left| {x + 7} \right| = 10\)

\(\left| {x + 3} \right| + \left| {x - 7} \right| = \left| {x + 3} \right| + \left| {7 - x} \right| \ge \left| {x + 3 + 7 - x} \right| = 10\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \)\(\left( {x + 3} \right)\left( {7 - x} \right) \ge 0\)

TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\7 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le 7\end{array} \right. \Rightarrow - 3 \le x \le 7\)

TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \le 0\\7 - x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 3\\x \ge 7\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \( - 3 \le x \le 7\)

b) \(\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 29} \right| = 30\)

\(\left| {2x + 1} \right| + \left| {29 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 1 + 29 - 2x} \right| = 30\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {29 - 2x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\29 - 2x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{1}{2}\\x \le \dfrac{{29}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{{29}}{2}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \le 0\\29 - 2x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{1}{2}\\x \ge \dfrac{{29}}{2}\end{array} \right.\) (vô lí)

Vậy \( - \dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{{29}}{2}\)

c) \(\left| {x + 3\dfrac{1}{2}} \right| + \left| {2\dfrac{1}{5} - x} \right| = 5\dfrac{7}{{10}}\)

\( \Leftrightarrow \left| {x + \dfrac{7}{2}} \right| + \left| {\dfrac{{11}}{5} - x} \right| = \dfrac{{57}}{{10}}\)

\(\left| {x + \dfrac{7}{2}} \right| + \left| {\dfrac{{11}}{5} - x} \right| \ge \left| {x + \dfrac{7}{2} + \dfrac{{11}}{5} - x} \right| = \dfrac{{57}}{{10}}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left( {x + \dfrac{7}{2}} \right)\left( {\dfrac{{11}}{5} - x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{7}{2} \le 0\\\dfrac{{11}}{5} - x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{7}{2}\\x \ge \dfrac{{11}}{5}\end{array} \right.\) (Vô lí)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{7}{2} \ge 0\\\dfrac{{11}}{5} - x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{7}{2}\\x \le \dfrac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{7}{2} \le x \le \dfrac{{11}}{5}\)

Vậy \( - \dfrac{7}{2} \le x \le \dfrac{{11}}{5}\)

d) \(\left| {3x - 1} \right| + \left| {3x} \right| + \left| {7x - 35} \right| + \left| {7x - 14} \right| = 22\)

\( \Rightarrow \left( {\left| {3x - 1} \right| + \left| {3x - 2} \right|} \right) + \left( {\left| {7x - 35} \right| + \left| {7x - 14} \right|} \right) = \left( {\left| {3x - 1} \right| + \left| {2 - 3x} \right|} \right) + \left( {\left| {35 - 7x} \right| + \left| {7x - 14} \right|} \right)\)

\( \ge \left| {3x - 1 + 2 - 3x} \right| + \left| {35 - 7x + 7x - 14} \right| = \left| 1 \right| + \left| {21} \right| = 22\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3x - 1} \right)\left( {2 - 3x} \right) \ge 0\left( * \right)\\\left( {35 - 7x} \right)\left( {7x - 14} \right) \ge 0\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

+ Với \(\left( * \right)\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 1 \ge 0\\2 - 3x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{1}{3}\\x \le \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{1}{3} \le x \le \dfrac{2}{3}\) (1)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 1 \le 0\\2 - 3x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{1}{3}\\x \ge \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\) (Vô lí)

+ Với \(\left( {**} \right)\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}35 - 7x \ge 0\\7x - 14 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 5\\x \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow 2 \le x \le 5\) (2)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}35 - 7x \le 0\\7x - 14 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le 2\end{array} \right.\) (Vô lí)

Kết hợp (1) và (2) \( \Rightarrow 2 \le x \le \dfrac{2}{3}\)

Vậy \(2 \le x \le \dfrac{2}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link