Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x + y > 0, - 20 \le x \le 20\) và \({\log

Câu hỏi số 618494:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x + y > 0, - 20 \le x \le 20\) và \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} + 2{y^2} + 3xy - x - y = 0\).

A. \(6\)

B. \(10\)

C. \(19\)

D. \(41\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618494

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} + 2{y^2} + 3xy - x - y = 0\) (ĐK: \(x + 2y > 0\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} + 2xy + xy + 2{y^2} - x - y = 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) + \left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) - \left( {x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + 2y - 1} \right) = - {\log _2}\left( {x + 2y} \right)\end{array}\)

Do \(x + y > 0\) nên \( - {\log _2}\left( {x + 2y} \right).\left( {x + 2y - 1} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right).\left( {x + 2y - 1} \right) \le 0\) (*)

+) \(x + 2y = 1 \Rightarrow \) (*) đúng.

+) \(x + 2y > 1 \Rightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) > 0,\,x + 2y - 1 > 0 \Rightarrow VT > 0 \Rightarrow \)Loại.

+) \(0 < x + 2y < 1 \Rightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) < 0,\,x + 2y - 1 < 0 \Rightarrow VT < 0 \Rightarrow \)Loại.

Vậy \(x + 2y = 1\).

Lại có: \(x,y \in \mathbb{Z}\), \(x + y > 0, - 20 \le x \le 20\).

Nhận xét: \(x = 1 - 2y:\) số lẻ; \(x + y > 0\).

\( \Rightarrow x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{x}{2} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow x > - 1\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {1;3;5;7;...;19} \right\}\), tương ứng là các giá trị \(y = \dfrac{{1 - x}}{2} \in \mathbb{Z}\).

Vậy có tất cả số cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn là: \(\dfrac{{19 - 1}}{2} + 1 = 10\) (cặp).

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.