Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(SA = 2\sqrt 6 a\). Gọi M, N lần lượt là
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(SA = 2\sqrt 6 a\). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) bằng \({60^0}\), tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp đa diện ABCMN?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và D là điểm đối xứng với A qua O.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AB\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BD \bot AM\\\left\{ \begin{array}{l}AM \bot SB\\AM \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AM \bot SD\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AN\\\left\{ \begin{array}{l}AN \bot SC\\AN \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AN \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AN \bot SD\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow SD \bot \left( {AMN} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\SD \bot \left( {AMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {AMN} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SA,SD} \right) = {60^0}\).
Xét tam giác SAD vuông tại A có \(\tan \angle ASD = \dfrac{{SA}}{{AD}} \Rightarrow AD = \dfrac{{2\sqrt 6 a}}{{\tan {{60}^0}}} = 2\sqrt 2 a\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AM \bot \left( {SBD} \right)\\DM \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot MD\,\,\,\left( 3 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}AN \bot \left( {SCD} \right)\\DN \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AN \bot ND\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \angle AND = \angle AMD = \angle ACD = \angle ABD = {90^0} \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện ABCMN.
\( \Rightarrow R = \dfrac{{AD}}{2} = \sqrt 2 a.\)
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là \({S_1} = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 8\pi {a^2}.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
