Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) \(H = 4\left| {x + 5} \right| + 4x - 1\)b) \(I = \left| {3x + 5}

Câu hỏi số 618691:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) \(H = 4\left| {x + 5} \right| + 4x - 1\)

b) \(I = \left| {3x + 5} \right| + 8 - 3x\)

c) \(J = x + \dfrac{1}{2} + \left| {x - \dfrac{2}{3}} \right|\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618691

Phương pháp giải

+ Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức

+ Quy tắc phá dấu ngoặc

+ Khi nhân hoặc chia với số âm ta cần đổi chiều bất phương trình

Giải chi tiết

a) \(H = 4\left| {x + 5} \right| + 4x - 1\)

+ Với \(x < - 5\) thì \(x + 5 < 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {x + 5} \right| = - x - 5\\ \Rightarrow H = 4\left( { - x - 5} \right) + 4x - 1 = - 4x - 20 + 4x - 1 = - 21\end{array}\)

+ Với \(x = - 5 \Rightarrow x + 5 = 0\)

\( \Rightarrow H = 4\left| 0 \right| + 4x - 1 = 4x - 1\)

Ta có: \(x = - 5 \Rightarrow H = 4.\left( { - 5} \right) - 1 = - 21\)

+ Với \(x > - 5 \Rightarrow x + 5 > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {x + 5} \right| = x + 5\\ \Rightarrow H = 4\left( {x + 5} \right) + 4x - 1 = 4x + 20 + 4x - 1 = 8x + 19\end{array}\)

Vì \(x > - 5 \Rightarrow 8x > - 40 \Rightarrow 8x + 19 > - 21\)

Hay \(H > - 21\)

Vậy GTNN của \(H\) là \( - 21\) khi và chỉ khi \(x \le - 5\)

b) \(I = \left| {3x + 5} \right| + 8 - 3x\)

+ Với \(x < - \dfrac{5}{3} \Rightarrow 3x + 5 < 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {3x + 5} \right| = - 3x - 5\\ \Rightarrow I = - 3x - 5 + 8 - 3x = - 6x + 3\end{array}\)

Vì \(x < - \dfrac{5}{3} \Rightarrow - 6x > 10 \Rightarrow - 6x + 3 > 13\)

Hay \(I > 13\)

+ Với \(x = - \dfrac{5}{3} \Rightarrow 3x + 5 = 0\)

\( \Rightarrow I = \left| 0 \right| + 8 - 3x = 8 - 3x\)

Ta có \(x = - \dfrac{5}{3} \Rightarrow I = 8 - 3.\left( { - \dfrac{5}{3}} \right) = 13\)

+ Với \(x > - \dfrac{5}{3} \Rightarrow 3x + 5 > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {3x + 5} \right| = 3x + 5\\ \Rightarrow I = 3x + 5 + 8 - 3x = 13\end{array}\)

Vậy GTNN của \(I\) là \(13\) khi và chỉ khi \(x \ge - \dfrac{5}{3}\)

c) \(J = x + \dfrac{1}{2} + \left| {x - \dfrac{2}{3}} \right|\)

+ Với \(x < \dfrac{2}{3} \Rightarrow x - \dfrac{2}{3} < 0\)

\( \Rightarrow \left| {x - \dfrac{2}{3}} \right| = - \left( {x - \dfrac{2}{3}} \right) = - x + \dfrac{2}{3}\)

\( \Rightarrow J = x + \dfrac{1}{2} + \left( { - x + \dfrac{2}{3}} \right) = x + \dfrac{1}{2} - x + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6}\)

+ Với \(x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow x - \dfrac{2}{3} = 0\)

\( \Rightarrow J = x + \dfrac{1}{2} + \left| 0 \right| = x + \dfrac{1}{2}\)

Ta có : \(x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow J = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{6}\)

+ Với \(x > \dfrac{2}{3} \Rightarrow x - \dfrac{2}{3} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {x - \dfrac{2}{3}} \right| = x - \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow J = x + \dfrac{1}{2} + \left( {x - \dfrac{2}{3}} \right) = x + \dfrac{1}{2} + x - \dfrac{2}{3} = 2x - \dfrac{1}{6}\end{array}\)

Vì \(x > \dfrac{2}{3} \Rightarrow 2x > \dfrac{4}{3} \Rightarrow 2x - \dfrac{1}{6} > \dfrac{7}{6}\)

Hay \(J > \dfrac{7}{6}\)

Vậy GTNN của \(J\) là \(\dfrac{7}{6}\) khi và chỉ khi \(x \ge \dfrac{2}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link