Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 3} \right) + \left( {2m + 5}

Câu hỏi số 618918:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 3} \right) + \left( {2m + 5} \right){\log _{\sqrt {x - 3} }}2 = 2m\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \({x_1} < {x_2} < 5.\)

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618918

Phương pháp giải

Tìm ĐKXĐ.

Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai với hàm số logarit.

Đặt ẩn phụ \(t = {\log _2}\left( {x - 3} \right)\), đưa bài toán về dạng phương trình bậc hai ẩn t có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước, sử dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\\sqrt {x - 3} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x \ne 4\end{array} \right. \Rightarrow 3 < x \ne 4\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{\log _2}\left( {x - 3} \right) + \left( {2m + 5} \right){\log _{\sqrt {x - 3} }}2 = 2m\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x - 3} \right) + \left( {2m + 5} \right)\dfrac{1}{{{{\log }_2}\sqrt {x - 3} }} = 2m\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x - 3} \right) + \left( {2m + 5} \right)\dfrac{2}{{{{\log }_2}\left( {x - 3} \right)}} = 2m\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\log }_2}\left( {x - 3} \right)} \right]^2} - m{\log _2}\left( {x - 3} \right) + 2m + 5 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}\left( {x - 3} \right)\), với \(x \in \left( {3;5} \right)\backslash \left\{ 4 \right\} \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\). Khi đó phương trình (*) trở thành

\({t^2} - mt + 2m + 5 = 0\,\,\left( {**} \right)\)

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \({x_1} < {x_2} < 5\) thì phương trình (**) có hai nghiệm \({t_1},\,\,{t_2}\) thoả mãn \({t_1},\,\,{t_2} \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} - 8m - 20 > 0\\1.f\left( 1 \right) = m + 6 > 0\\f\left( 0 \right) = 2m + 5 \ne 0\\\dfrac{S}{2} = \dfrac{m}{2} < 1\end{array} \right.\) với å\(f\left( t \right) = {t^2} - mt + 2m + 5\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {10;\infty } \right)\\m \in \left( { - 6;2} \right)\\m \ne \dfrac{{ - 5}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 6; - 2} \right)\\m \ne \dfrac{{ - 5}}{2}\end{array} \right.\).

Vậy có 3 giá trị nguyên m thoả mãn \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.