Cho x và y là các số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left( {y - {{10}^x}}
Cho x và y là các số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left( {y - {{10}^x}} \right)^{2022}} + {\left( {{e^y} - x\ln 10} \right)^{2022}}\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = {\left( {y - {{10}^x}} \right)^{2022}} + {\left( {{e^y} - x\ln 10} \right)^{2022}}\\P = {\left( {y - {e^{x\ln 10}}} \right)^{2022}} + {\left( {{e^y} - x\ln 10} \right)^{2022}}\end{array}\)
Đặt \(t = x\ln 10 \Rightarrow P = {\left( {y - {e^t}} \right)^{2022}} + {\left( {{e^y} - t} \right)^{2022}} = {\left( {t - {e^y}} \right)^{2022}} + {\left( {{e^t} - y} \right)^{2022}}\)
Với \(y > t \Rightarrow P = {\left( {y - {e^t}} \right)^{2022}} + {\left( {{e^y} - t} \right)^{2022}} > {\left( {t - {e^t}} \right)^{2022}} + {\left( {{e^t} - t} \right)^{2022}} = 2{\left( {t - {e^t}} \right)^{2022}}\)
Với \(y < t \Rightarrow P = {\left( {y - {e^t}} \right)^{2022}} + {\left( {{e^y} - t} \right)^{2022}} > {\left( {y - {e^y}} \right)^{2022}} + {\left( {{e^y} - y} \right)^{2022}} = 2{\left( {{e^y} - y} \right)^{2022}}\)
Với \(y = t \Rightarrow P = 2{\left( {{e^t} - t} \right)^{2022}}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {e^t} - t\) ta có \(f'\left( t \right) = {e^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy được \(f\left( t \right) = {e^t} - t \ge 1 \Rightarrow P = 2{\left( {{e^t} - t} \right)^{2022}} \ge 2\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow y = t = 0 \Leftrightarrow x = y = 0.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
