Đặt một điện áp \(u = {U_0}\cos \omega t\left( V \right)\), trong đó \({U_0}\) không đổi nhưng ω

Câu hỏi số 618987:

Vận dụng cao

Đặt một điện áp \(u = {U_0}\cos \omega t\left( V \right)\), trong đó \({U_0}\) không đổi nhưng ω thay đổi được, vào hai đầu một đoạn mạch gồm điện trở R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm \(L = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{4\pi }}H\) và tụ điện C mắc nối tiếp. Khi \(\omega = {\omega _1}\) hoặc \(\omega = {\omega _2}\) thì hệ số công suất trong mạch điện bằng nhau và bằng 0,5: Biết \({\omega _1} - {\omega _2} = 200\pi {\mkern 1mu} \left( {rad/s} \right)\). Giá trị của R bằng

A. \(50\Omega \)

B. \(100\Omega \)

C. \(150\Omega \)

D. \(200\Omega \)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Công suất tiêu thụ của mạch RLC nối tiếp: \(P = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}R}}{{{Z^2}}} = \dfrac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}\)

Hệ số công suất: \(\cos \varphi = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \dfrac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}\)

Với cùng 1 mạch xoay chiều, hai giá trị của tần số góc cho cùng hệ số công suất thì: \({\omega _1}{\omega _2} = \omega _0^2\)(với \({\omega _0}\) là giá trị tần số góc khi xảy ra hiện tượng cộng hưởng).

Giải chi tiết

Công suất tiêu thụ của mạch: \(P = \dfrac{{{U^2}R}}{{{Z^2}}} = \dfrac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}\)

\({P_{\max }} \Leftrightarrow {\left[ {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} \right]_{\min }}\)\( \Leftrightarrow {Z_L} = {Z_C} \Leftrightarrow {\omega _0}L = \dfrac{1}{{{\omega _0}C}} \Rightarrow \omega _0^2 = \dfrac{1}{{LC}}\)

Với hai giá trị của tần số góc cho cùng hệ số công suất, ta có: \({\omega _1}{\omega _2} = \omega _0^2\)

Mặt khác: \(\cos {\varphi _1} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{\omega _1}L - \dfrac{1}{{{\omega _1}C}}} \right)}^2}} }}\)

\(\cos {\varphi _1} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + \left( {\omega _1^2{L^2} - 2.\dfrac{L}{C} + \dfrac{1}{{\omega _1^2{C^2}}}} \right)} }}\)

\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + \left( {\omega _1^2{L^2} - 2{L^2}.\dfrac{1}{{LC}} + \dfrac{{{L^2}}}{{\omega _1^2}}.\dfrac{1}{{{L^2}{C^2}}}} \right)} }}\)

\(\cos {\varphi _1} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + \left( {\omega _1^2{L^2} - 2{L^2}.\omega _0^2 + \dfrac{{{L^2}}}{{\omega _1^2}}.\omega _0^4} \right)} }}\)

\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {L^2}.\left( {\omega _1^2 - 2.\omega _0^2 + \dfrac{{\omega _0^4}}{{\omega _1^2}}} \right)} }}\)

\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {L^2}.{{\left( {{\omega _1} - \dfrac{{\omega _0^2}}{{{\omega _1}}}} \right)}^2}} }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {L^2}.{{\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)}^2}} }}\)

Theo bài ra ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos {\varphi _1} = 0,5}\\{{\omega _1} - {\omega _2} = 200\pi {\mkern 1mu} \left( {rad/s} \right)}\\{L = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{4\pi }}H}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \cos {\varphi _1} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {L^2}.{{\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)}^2}} }} = 0,5\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{R^2}}}{{{R^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{{4\pi }}} \right)}^2}.{{\left( {200\pi } \right)}^2}}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{{R^2}}}{{{R^2} + 7500}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow R = 50\Omega \)

Xem lời giải

Câu hỏi:618987

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.