Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,5{x^2} + 16{y^2} = 80\) và hai điểm

Câu hỏi số 619393:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,5{x^2} + 16{y^2} = 80\) và hai điểm A(-5;-1), B(-1;1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAB.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:619393

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng AB và tính độ dài AB.

Tính diện tích tam giác MAB: \({S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {M;AB} \right)\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxi \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Phương trình đường thẳng AB: \(x - 2y + 3 = 0\) và \(AB = 2\sqrt 5 \).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow 5x_0^2 + 16y_0^2 = 80\).

Ta có: \(d\left( {M;AB} \right) = \dfrac{{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \dfrac{{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }}\).

Diện tích tam giác MAB là: \({S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {M;AB} \right) = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\dfrac{{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxi ta có:

\({\left( {{x_0} - 2{y_0}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5 {x_0} - \dfrac{1}{2}.4{y_0}} \right)^2} \le \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4}} \right).\left( {5x_0^2 + 16y_0^2} \right) = \dfrac{9}{{20}}.80 = 36\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 2{y_0}} \right| \le 6 \Leftrightarrow - 6 \le {x_0} - 2{y_0} \le 6\\ \Leftrightarrow - 6 + 3 \le {x_0} - 2{y_0} + 3 \le 6 + 3\\ \Leftrightarrow - 3 \le {x_0} - 2{y_0} + 3 \le 9\\ \Rightarrow \left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right| \le 9\\ \Rightarrow \max {S_{MAB}} = 9.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt 5 {x_0}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}}} = \dfrac{{4{y_0}}}{{\dfrac{{ - 1}}{2}}}\\{x_0} - 2{y_0} + 3 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x_0} = - 8{y_0}\\{x_0} - 2{y_0} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{8}{3}\\{y_0} = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(\max {S_{MAB}} = 9\) khi \(M\left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.