Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,5{x^2} + 16{y^2} = 80\) và hai điểm A(-5;-1), B(-1;1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAB.
Câu 619393: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,5{x^2} + 16{y^2} = 80\) và hai điểm A(-5;-1), B(-1;1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAB.
Viết phương trình đường thẳng AB và tính độ dài AB.
Tính diện tích tam giác MAB: \({S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {M;AB} \right)\).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxi \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).
-
Giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng AB: \(x - 2y + 3 = 0\) và \(AB = 2\sqrt 5 \).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow 5x_0^2 + 16y_0^2 = 80\).
Ta có: \(d\left( {M;AB} \right) = \dfrac{{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \dfrac{{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }}\).
Diện tích tam giác MAB là: \({S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {M;AB} \right) = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\dfrac{{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|\).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxi ta có:
\({\left( {{x_0} - 2{y_0}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5 {x_0} - \dfrac{1}{2}.4{y_0}} \right)^2} \le \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4}} \right).\left( {5x_0^2 + 16y_0^2} \right) = \dfrac{9}{{20}}.80 = 36\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 2{y_0}} \right| \le 6 \Leftrightarrow - 6 \le {x_0} - 2{y_0} \le 6\\ \Leftrightarrow - 6 + 3 \le {x_0} - 2{y_0} + 3 \le 6 + 3\\ \Leftrightarrow - 3 \le {x_0} - 2{y_0} + 3 \le 9\\ \Rightarrow \left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right| \le 9\\ \Rightarrow \max {S_{MAB}} = 9.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt 5 {x_0}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}}} = \dfrac{{4{y_0}}}{{\dfrac{{ - 1}}{2}}}\\{x_0} - 2{y_0} + 3 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x_0} = - 8{y_0}\\{x_0} - 2{y_0} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{8}{3}\\{y_0} = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\).
Vậy \(\max {S_{MAB}} = 9\) khi \(M\left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right)\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com