Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,5{x^2} + 16{y^2} = 80\) và hai điểm

Câu hỏi số 619393:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,5{x^2} + 16{y^2} = 80\) và hai điểm A(-5;-1), B(-1;1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAB.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:619393

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng AB và tính độ dài AB.

Tính diện tích tam giác MAB: \({S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {M;AB} \right)\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxi \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Phương trình đường thẳng AB: \(x - 2y + 3 = 0\) và \(AB = 2\sqrt 5 \).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow 5x_0^2 + 16y_0^2 = 80\).

Ta có: \(d\left( {M;AB} \right) = \dfrac{{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \dfrac{{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }}\).

Diện tích tam giác MAB là: \({S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {M;AB} \right) = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\dfrac{{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right|\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxi ta có:

\({\left( {{x_0} - 2{y_0}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5 {x_0} - \dfrac{1}{2}.4{y_0}} \right)^2} \le \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4}} \right).\left( {5x_0^2 + 16y_0^2} \right) = \dfrac{9}{{20}}.80 = 36\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 2{y_0}} \right| \le 6 \Leftrightarrow - 6 \le {x_0} - 2{y_0} \le 6\\ \Leftrightarrow - 6 + 3 \le {x_0} - 2{y_0} + 3 \le 6 + 3\\ \Leftrightarrow - 3 \le {x_0} - 2{y_0} + 3 \le 9\\ \Rightarrow \left| {{x_0} - 2{y_0} + 3} \right| \le 9\\ \Rightarrow \max {S_{MAB}} = 9.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt 5 {x_0}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}}} = \dfrac{{4{y_0}}}{{\dfrac{{ - 1}}{2}}}\\{x_0} - 2{y_0} + 3 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x_0} = - 8{y_0}\\{x_0} - 2{y_0} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{8}{3}\\{y_0} = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(\max {S_{MAB}} = 9\) khi \(M\left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10