Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2022x}} - {e^{ - 2022x}} + {\ln ^{2023}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} }
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2022x}} - {e^{ - 2022x}} + {\ln ^{2023}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\). Trên khoảng \(\left( { - 25;25} \right)\) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \(f\left( {{e^{x + m}} + m} \right) + f\left( {x - {x^2} - \ln {x^2}} \right) = 0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá.
Ta có: \(f\left( x \right) = {e^{2022x}} - {e^{ - 2022x}} + {\ln ^{2023}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = {e^{ - 2022x}} - {e^{2022x}} + {\ln ^{2023}}\left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {e^{ - 2022x}} - {e^{2022x}} + {\ln ^{2023}}\dfrac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - f\left( x \right)\end{array}\).
Phương trình \(f\left( {{e^{x + m}} + m} \right) + f\left( {x - {x^2} - \ln {x^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow f\left( {{e^{x + m}} + m} \right) = - f\left( {x - {x^2} - \ln {x^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow f\left( {{e^{x + m}} + m} \right) = f\left( { - x + {x^2} + \ln {x^2}} \right)\). (*)
Lại có: \(f\left( x \right) = {e^{2022x}} - {e^{ - 2022x}} + {\ln ^{2023}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 2022{e^{2022x}} + \dfrac{{2022}}{{{e^{2022x}}}} + 2023{\ln ^{2022}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\dfrac{{1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2022{e^{2022x}} + \dfrac{{2022}}{{{e^{2022x}}}} + \dfrac{{2023{{\ln }^{2022}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0,\forall x\end{array}\)
\( \Rightarrow y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Khi đó (*) tương đương \( \Leftrightarrow {e^{x + m}} + m = - x + {x^2} + \ln {x^2}\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {e^{x + m}} + x + m = {x^2} + \ln {x^2}\\ \Leftrightarrow {e^{x + m}} + x + m = {e^{\ln {x^2}}} + \ln {x^2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow x + m = \ln {x^2}\) (do hàm số \(g\left( x \right) = {e^x} + x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)).
\( \Leftrightarrow m = \ln {x^2} - x\). (2*)
Xét hàm số \(h\left( x \right) = \ln {x^2} - x\,\,\left( {x \ne 0} \right)\), có: \(h'\left( x \right) = \dfrac{2}{x} - 1\).
\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Ta có bảng sau:
Do đó: (2*) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m < 2\ln 2 - 2 \approx - 0,6\).
Mà m là số nguyên thuộc khoảng \(\left( { - 25;25} \right)\,\, \Rightarrow m \in \left\{ { - 24; - 23;...; - 1} \right\}\): 24 giá trị.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
