Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) \(\left( {a > 0} \right)\) thỏa mãn \({\left( {{2^a}

Câu hỏi số 620125:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) \(\left( {a > 0} \right)\) thỏa mãn \({\left( {{2^a} + \dfrac{1}{{{2^a}}}} \right)^{2017}} \le {\left( {{2^{2017}} + \dfrac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)^a}\).

A. \(0 < a < 1\).

B. \(a \ge 2017\).

C. \(1 < a < 2017\).

D. \(0 < a \le 2017\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620125

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của bất phương trình.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\left( {{2^a} + \dfrac{1}{{{2^a}}}} \right)^{2017}} \le {\left( {{2^{2017}} + \dfrac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)^a},\,\,a > 0\,\,\\\, \Leftrightarrow 2017\ln \left( {{2^a} + \dfrac{1}{{{2^a}}}} \right) \le a\ln \left( {{2^{2017}} + \dfrac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{2^a} + \dfrac{1}{{{2^a}}}} \right)}}{a} \le \dfrac{{\ln \left( {{2^{2017}} + \dfrac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)}}{{2017}}\end{array}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{\ln \left( {{2^t} + \dfrac{1}{{{2^t}}}} \right)}}{t},\,\,\left( {t > 0} \right)\) có:

\(f\left( t \right) = \dfrac{{\ln \left( {{2^{2t}} + 1} \right) - t\ln 2}}{t} = \dfrac{{\ln \left( {{4^t} + 1} \right)}}{t} - \ln 2\).

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{\dfrac{{{4^t}\ln 4}}{{{4^t} + 1}}.t - \ln \left( {{4^t} + 1} \right)}}{{{t^2}}} = \dfrac{{{4^t}\ln {4^t} - \left( {{4^t} + 1} \right)\ln \left( {{4^t} + 1} \right)}}{{{t^2}\left( {{4^t} + 1} \right)}}\).

Ta có: \({4^t} < {4^t} + 1,\,\,\ln {4^t} < \ln \left( {{4^t} + 1} \right)\)

\( \Rightarrow {4^t}\ln {4^t} < \left( {{4^t} + 1} \right)\ln \left( {{4^t} + 1} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) < 0,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow y = f\left( t \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó, BPT đã cho tương đương \(f\left( a \right) \le f\left( {2017} \right) \Leftrightarrow a \ge 2017\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.