Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = 3a\), \(AC = 4a\), \(AD = 5a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trọng tâm các
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = 3a\), \(AC = 4a\), \(AD = 5a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(DAB\), \(DBC\), \(DCA\). Tính thể tích \(V\) của tứ diện \(DMNP\) khi thể tích tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng tỉ lệ thể tích khối chóp:
Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\).
Khi đó, \(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{D.MNP}}}}{{{V_{D.HIK}}}} = \dfrac{{DM}}{{DH}}.\dfrac{{DN}}{{DI}}.\dfrac{{DP}}{{DK}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3}\)
\( \Rightarrow {V_{D.MNP}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{D.HIK}} = \dfrac{8}{{27}}.\dfrac{1}{4}{V_{D.ABC}} = \dfrac{2}{{27}}{V_{D.ABC}}\).
Ta có: \({V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABC}}DE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A.DE \le \dfrac{1}{6}.AB.AC.AD\).
Dấu “=” xảy ra khi \(AD = DE,\,\widehat {BAC} = {90^0}\).
\( \Rightarrow {V_{D.ABC}}\max = \dfrac{1}{6}.3a.4a.6a = 10{a^3}\).
Vậy \({V_{DMNP}} = \dfrac{2}{{27}}.10{a^3} = \dfrac{{20}}{{27}}{a^3}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
