Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = 3a\), \(AC = 4a\), \(AD = 5a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trọng tâm các
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = 3a\), \(AC = 4a\), \(AD = 5a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(DAB\), \(DBC\), \(DCA\). Tính thể tích \(V\) của tứ diện \(DMNP\) khi thể tích tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng tỉ lệ thể tích khối chóp:
Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\).
Khi đó, \(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{D.MNP}}}}{{{V_{D.HIK}}}} = \dfrac{{DM}}{{DH}}.\dfrac{{DN}}{{DI}}.\dfrac{{DP}}{{DK}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3}\)
\( \Rightarrow {V_{D.MNP}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{D.HIK}} = \dfrac{8}{{27}}.\dfrac{1}{4}{V_{D.ABC}} = \dfrac{2}{{27}}{V_{D.ABC}}\).
Ta có: \({V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABC}}DE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A.DE \le \dfrac{1}{6}.AB.AC.AD\).
Dấu “=” xảy ra khi \(AD = DE,\,\widehat {BAC} = {90^0}\).
\( \Rightarrow {V_{D.ABC}}\max = \dfrac{1}{6}.3a.4a.6a = 10{a^3}\).
Vậy \({V_{DMNP}} = \dfrac{2}{{27}}.10{a^3} = \dfrac{{20}}{{27}}{a^3}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
