a) Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{6x}}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}}

Câu hỏi số 620442:

Vận dụng

a) Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{6x}}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right) \cdot \left( {\dfrac{{6\sqrt x - 2}}{{9x\sqrt x - 6x + \sqrt x }}} \right)\),

với \(x > 0,x \ne 1\), \(x \ne \dfrac{1}{9}\).

Tìm các số nguyên \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.

b) Cho \(x,y,z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(xy + yz + zx = 12\).

Chứng minh rằng

\(x\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {y^2}} \right)\left( {12 + {z^2}} \right)}}{{12 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {x^2}} \right)\left( {12 + {z^2}} \right)}}{{12 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {x^2}} \right)\left( {12 + {y^2}} \right)}}{{12 + {z^2}}}} = 24\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620442

Giải chi tiết

a) Với \(x > 0,x \ne 1,x \ne \dfrac{1}{9}\) ta có

\(P = \left( {\dfrac{{6x}}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right) \cdot \left( {\dfrac{{6\sqrt x - 2}}{{9x\sqrt x - 6x + \sqrt x }}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\; = \dfrac{{6x - \left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \dfrac{{2\left( {3\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \cdot {{(3\sqrt x - 1)}^2}}}\\\; = \dfrac{{6x - \sqrt x - 1 - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \dfrac{2}{{\sqrt x \cdot \left( {3\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{6x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \dfrac{2}{{\sqrt x \cdot \left( {3\sqrt x - 1} \right)}}\\\; = \dfrac{{2\sqrt x \left( {3\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \dfrac{2}{{\sqrt x \cdot \left( {3\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{4}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{4}{{x - 1}}.\end{array}\)

Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên để \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x - 1 \in U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\).

Do \(x > 0 \Rightarrow x - 1 > - 1 \Rightarrow x - 1 \in \left\{ {1;2;4} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;5} \right\}\) ( đều thỏa mãn điều kiện).

b) Ta có \(xy + yz + zx = 12 \Leftrightarrow 12 + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx\)

\( \Leftrightarrow 12 + {x^2} = x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right) \)

\(\Leftrightarrow 12 + {x^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\).

Tương tự ta có \(12 + {y^2} = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right),12 + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\).

Khi đó \(x\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {y^2}} \right)\left( {12 + {z^2}} \right)}}{{12 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {x^2}} \right)\left( {12 + {z^2}} \right)}}{{12 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {x^2}} \right)\left( {12 + {y^2}} \right)}}{{12 + {z^2}}}} \)

\( = x \cdot \sqrt {{{(y + z)}^2}} + y \cdot \sqrt {{{(z + x)}^2}} + z \cdot \sqrt {{{(x + y)}^2}} \)

\( = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z \cdot \left( {x + y} \right)\)

\( = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2 \cdot 12 = 24\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link