a) Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{6x}}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}}

Câu hỏi số 620442:

Vận dụng

a) Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{6x}}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right) \cdot \left( {\dfrac{{6\sqrt x - 2}}{{9x\sqrt x - 6x + \sqrt x }}} \right)\),

với \(x > 0,x \ne 1\), \(x \ne \dfrac{1}{9}\).

Tìm các số nguyên \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.

b) Cho \(x,y,z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(xy + yz + zx = 12\).

Chứng minh rằng

\(x\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {y^2}} \right)\left( {12 + {z^2}} \right)}}{{12 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {x^2}} \right)\left( {12 + {z^2}} \right)}}{{12 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {x^2}} \right)\left( {12 + {y^2}} \right)}}{{12 + {z^2}}}} = 24\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620442

Giải chi tiết

a) Với \(x > 0,x \ne 1,x \ne \dfrac{1}{9}\) ta có

\(P = \left( {\dfrac{{6x}}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right) \cdot \left( {\dfrac{{6\sqrt x - 2}}{{9x\sqrt x - 6x + \sqrt x }}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\; = \dfrac{{6x - \left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \dfrac{{2\left( {3\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \cdot {{(3\sqrt x - 1)}^2}}}\\\; = \dfrac{{6x - \sqrt x - 1 - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \dfrac{2}{{\sqrt x \cdot \left( {3\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{6x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \dfrac{2}{{\sqrt x \cdot \left( {3\sqrt x - 1} \right)}}\\\; = \dfrac{{2\sqrt x \left( {3\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \dfrac{2}{{\sqrt x \cdot \left( {3\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{4}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{4}{{x - 1}}.\end{array}\)

Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên để \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x - 1 \in U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\).

Do \(x > 0 \Rightarrow x - 1 > - 1 \Rightarrow x - 1 \in \left\{ {1;2;4} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;5} \right\}\) ( đều thỏa mãn điều kiện).

b) Ta có \(xy + yz + zx = 12 \Leftrightarrow 12 + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx\)

\( \Leftrightarrow 12 + {x^2} = x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right) \)

\(\Leftrightarrow 12 + {x^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\).

Tương tự ta có \(12 + {y^2} = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right),12 + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\).

Khi đó \(x\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {y^2}} \right)\left( {12 + {z^2}} \right)}}{{12 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {x^2}} \right)\left( {12 + {z^2}} \right)}}{{12 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {12 + {x^2}} \right)\left( {12 + {y^2}} \right)}}{{12 + {z^2}}}} \)

\( = x \cdot \sqrt {{{(y + z)}^2}} + y \cdot \sqrt {{{(z + x)}^2}} + z \cdot \sqrt {{{(x + y)}^2}} \)

\( = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z \cdot \left( {x + y} \right)\)

\( = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2 \cdot 12 = 24\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link