1. Chứng minh rằng \({n^4} + 2{n^3} - {n^2} - 2n\) chia hết cho 24 với mọi số nguyên \(n\).2. Tìm tất

Câu hỏi số 620674:

Vận dụng

1. Chứng minh rằng \({n^4} + 2{n^3} - {n^2} - 2n\) chia hết cho 24 với mọi số nguyên \(n\).

2. Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \(25{n^2} + 10n + 48\) là tích của hai số nguyên dương chẵn liên tiếp.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620674

Giải chi tiết

1. Ta có: \({n^4} + 2{n^3} - {n^2} - 2n = \left( {{n^3} - n} \right)\left( {n + 2} \right) = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\)

Ta thấy \(\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\) là tích bốn số nguyên liên tiếp nên sẽ chứa một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4, từ đó suy ra tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.

Đồng thời, trong bốn số nguyên liên tiếp luôn chứa tích của ba số nguyên liên tiếp, đồng nghĩa với việc tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.

Mà (3,8) = 1, hay 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vì vậy, tích bốn số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3.8 hay 24 (đpcm).

Vậy \({n^4} + 2{n^3} - {n^2} - 2n\) chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.

2. Gọi hai số chẵn liên tiếp lần lượt là 2k và 2k + 2 với \(k \in \mathbb{Z}\)

Theo đề bài, ta có phương trình sau

\(\begin{array}{l}25{n^2} + 10n + 48 = 2k\left( {2k + 2} \right)\\ \Rightarrow 5n\left( {5n + 2} \right) + 48 = 4k\left( {k + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \(4k\left( {k + 1} \right)\)là tích hai số nguyên liên tiếp nên \(k\left( {k + 1} \right) \vdots 2\) hay \(4k\left( {k + 1} \right) \vdots 8\)

Suy ra \(5n\left( {5n + 2} \right) + 48 \vdots 8\) mà \(48 \vdots 8\) nên ta có \(5n\left( {5n + 2} \right) \vdots 8\)

Mà 5n và 5n + 2 cách nhau hai đơn vị nên cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Nên để chia hết cho 8 thì chỉ có thể là cùng chẵn.

Do đó 5n chẵn hay n chẵn.

Đặt \(n = 2m\left( {m \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\)

Từ đó ta có (1) tương đương với

\(\begin{array}{l}10m(10m + 2) + 48 = 4k(k + 1)\\ \Leftrightarrow 5m(5m + 1) + 12 = k(k + 1)\\ \Leftrightarrow 25{m^2} + 5m + 12 = {k^2} + k\\ \Leftrightarrow (5m - k)(5m + k) + (5m - k) + 12 = 0\\ \Leftrightarrow (5m - k)(5m + k + 1) = - 12\end{array}\)

Vì \(5m - k < 5m + k + 1\) nên ta có các trường hợp sau

1) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5m - k = - 4}\\{5m + k + 1 = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - \dfrac{1}{5}\left( {ktm} \right){\rm{ }}}\\{k = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

2) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5m - k = - 2}\\{5m + k + 1 = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - \dfrac{3}{{10}}{\rm{ (ktm) }}}\\{k = \dfrac{7}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

3) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5m - k = - 1}\\{5m + k + 1 = 12}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1{\rm{ (tm) }}}\\{k = 6}\end{array}} \right.} \right.\)

Trong ba trường hợp chỉ có TH3 thỏa mãn, do đó \(n = 2,m = 2\).

Vậy \(n = 2\) thì \(25{n^2} + 10n + 48\) là tích của hai số nguyên dương chẵn liên tiếp

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link