1. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2x - xy + 2y = 0}\\{x + y = xy -

Câu hỏi số 620675:

Vận dụng

1. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2x - xy + 2y = 0}\\{x + y = xy - 5}\end{array}} \right.\).

2. Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3 = 0\) ( \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + {m^2}} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + {m^2}} \right) = 1\).

3. Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn \(a + b + c + d = 10\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 28\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = ab + ac + ad\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620675

Giải chi tiết

1. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2x - xy + 2y = 0\,\,\,\,\,(1)}\\{x + y - xy = 5{\rm{ (2) }}}\end{array}} \right.\)

Xét phương trình (1), ta thấy: \({x^2} - 2x - xy + 2y = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - y)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

TH1: \(x = y\) thế vào (2) ta được

\(2x = {x^2} - 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y = 1 + \sqrt 6 }\\{x = y = 1 - \sqrt 6 }\end{array}.} \right.\)

TH2: \(x = 2\) thế vào (2) ta được

\(2 + y = 2y - 5 \Leftrightarrow y = 7\)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: \((x;y) = \{ (1 - \sqrt 6 ;1 - \sqrt 6 );(1 + \sqrt 6 ;1 + \sqrt 6 );(2;7)\} \)

2. Ta có \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3 = 0\) (1)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) thì \(\Delta ' = - 2m + 4 > 0 \Leftrightarrow m < 2\).

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)}\\{{x_1} \cdot {x_2} = {m^2} - 3}\end{array}} \right.\)

Vì \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_1^2 - 2(m - 1){x_1} + {m^2} - 3 = 0}\\{x_2^2 - 2(m - 1){x_2} + {m^2} - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_1^2 - 2m{x_1} + {m^2} = 3 - 2{x_1}}\\{x_2^2 - 2m{x_2} + {m^2} = 3 - 2{x_2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Theo đề bài,ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + {m^2}} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + {m^2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {3 - 2{x_1}} \right)\left( {3 - 2{x_2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 8 - 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4{x_1}{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow 8 - 12(m - 1) + 4\left( {{m^2} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow (m - 1)(m - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1{\rm{ (tm) }}}\\{m = 2{\rm{ (ktm) }}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m = 1\) thì thoả mãn yêu cầu đề bài.

3. Xét \({b^2} + {c^2} + {d^2}\), áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta được:

\({(b + c + d)^2} \le 3\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\) (dấu = xảy ra khi \(a = b = c\)

\( \Leftrightarrow {(10 - a)^2} \le 3\left( {28 - {a^2}} \right) \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 4 = (a - 1)(a - 4) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le a \le 4\)

Mặt khác, ta thấy \({\rm{T}} = ab + ac + ad = a(b + c + d) = a(10 - a) = 10a - {a^2}\)

\( = \left( {10a - {a^2} - 24} \right) + 24 = (a - 4)(6 - a) + 24 \le (4 - 4)(6 - 1) + 24 = 24\) (dấu = xảy ra khi a = 4)

Vậy \({T_{\max }} = 24\) khi \(a = 4;b = c = d = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link