Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để đồ thị hàm số \(y = mx + \sqrt {{x^2} + x + 1} \)

Câu hỏi số 620802:

Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để đồ thị hàm số \(y = mx + \sqrt {{x^2} + x + 1} \) có tiệm cận ngang?

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620802

Phương pháp giải

Sử dụng khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\):

Đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\).

Giải chi tiết

Với \(m > 0\):

\(\begin{array}{l}{L_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {mx + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {m + \sqrt {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty \\{L_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{m^2}{x^2} - {x^2} - x - 1}}{{mx - \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - x - 1}}{{mx - \sqrt {{x^2} + x + 1} }}\end{array}\)

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì điều kiện cần là \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)

Khi đó \({L_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x - 1}}{{x - \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = - \dfrac{1}{2}\)

Do đó \(y = - \dfrac{1}{2}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Với \(m < 0\):

\(\begin{array}{l}{L_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {mx + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\left( {m - \sqrt {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty \\{L_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{m^2}{x^2} - {x^2} - x - 1}}{{mx - \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - x - 1}}{{mx - \sqrt {{x^2} + x + 1} }}\end{array}\)

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì điều kiện cần là \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\)

Khi đó \({L_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - x - 1}}{{ - x - \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \dfrac{1}{2}\)

Do đó \(y = \dfrac{1}{2}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy \(m = \pm 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.