Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {{{8.64}^x} - m} \right)^3} -

Câu hỏi số 620814:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {{{8.64}^x} - m} \right)^3} - {162.4^x} - 27m = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;1} \right]\)?

A. 487.

B. 489.

C. 483.

D. 485.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620814

Phương pháp giải

- Biến đổi đưa về dạng hàm đặc trưng

- Tìm khoảng giá trị của \(m\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {{{8.64}^x} - m} \right)^3} - {162.4^x} - 27m = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {8.64^x} - m = \sqrt[3]{{{{162.4}^x} + 27m}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{{2.4}^x}} \right)^3} + 3.\left( {{{2.4}^x}} \right) = {6.4^x} + m + 3\sqrt[3]{{{{6.4}^x} + m}}\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t,\,\,t > 0\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0,\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {{{2.4}^x}} \right)^3} = {6.4^x} + m\\ \Leftrightarrow {8.4^{3x}} - {6.4^x} = m\end{array}\)

Xét \(g\left( x \right) = {8.4^{3x}} - {6.4^x},\,\,x \in \left[ {0;1} \right]\)

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = {48.4^{3x}}\ln 2 - {12.4^x}\ln 2\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {48.4^{3x}}\ln 2 - {12.4^x}\ln 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4^{3x + 1}} - {4^x} = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 1 = x\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2} \notin \left[ {0;1} \right]\\ \Rightarrow g'\left( x \right) \ge 0,x \in \left[ {0;1} \right]\end{array}\)

Khi đó \(\mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;1} \right]} = g\left( 0 \right) = 2,\,\,\mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;1} \right]} = g\left( 1 \right) = 488\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thì \(2 \le m \le 488\)

Vậy có 487 giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.