Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y), với \(x \le 2023\) thỏa mãn bất phương trình

Câu hỏi số 623094:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y), với \(x \le 2023\) thỏa mãn bất phương trình \({4.2^{\frac{{{{\log }_2}x + 3y}}{4}}} \ge x + {3.2^y}\).

A. 30.

B. 23.

C. 11.

D. 10.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623094

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Cô si cho 4 số không âm: \({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} \ge 4\sqrt[4]{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}\).

Đẳng thức xảy ra khi \({x_1} = {x_2} = {x_3} = {x_4}\).

Giải chi tiết

Với \(x > 0\), áp dụng BĐT Cô si , ta có: \(x + {3.2^y} = x + {2^y} + {2^y} + {2^y} \ge 4\sqrt[4]{{x{{.2}^{3y}}}} = {4.2^{\frac{{{{\log }_2}x + 3y}}{4}}}\).

Mặt khác \({4.2^{\frac{{{{\log }_2}x + 3y}}{4}}} \ge x + {3.2^y} \Rightarrow \)\({4.2^{\frac{{{{\log }_2}x + 3y}}{4}}} = x + {3.2^y}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : \(x = {2^y}\).

Mà \(x \le 2023 \Rightarrow {2^y} \le 2023 \Leftrightarrow y \le {\log _2}2023 \approx 10,98 \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3;...;10} \right\}\).

Với mỗi giá trị của y như trên ta tìm được đúng 1 giá trị nguyên dương của x.

Do đó, có đúng 10 cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.