Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) < 0,\forall x > 0\) và có đạo hàm

Câu hỏi số 623845:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) < 0,\forall x > 0\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right){f^2}\left( x \right),\forall x > 0\) và \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{6}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2023} \right)\) bằng:

A. \( - \dfrac{{2021}}{{4046}}\).

B. \( - \dfrac{{2022}}{{2023}}\).

C. \( - \dfrac{{2023}}{{4050}}\).

D. \( - \dfrac{{2021}}{{2023}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623845

Phương pháp giải

\(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} + C\).

Giải chi tiết

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) < 0,\forall x > 0\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right){f^2}\left( x \right),\forall x > 0\).

\( \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 3,\forall x > 0 \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {\left( {2x + 3} \right)} dx,\forall x > 0\)\( \Rightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + 3x + C,\forall x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2} + 3x + C}},\forall x > 0\).

Mà \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow - \dfrac{1}{{4 + C}} = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow C = 2\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} = - \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = - \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 2}},\forall x > 0\).

Khi đó: \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2023} \right) = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - ... - \dfrac{1}{{2024}} + \dfrac{1}{{2025}} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2025}} = - \dfrac{{2023}}{{4050}}\).

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.