Trên hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + y + z = 2\) và mặt

Câu hỏi số 623844:

Vận dụng cao

Trên hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + y + z = 2\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\). Gọi điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. \(\min c \in \left( { - 1;1} \right)\).

B. \(\min c \in \left[ {1;2} \right]\).

C. \(\max a = \min b\).

D. \(\max c \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right]\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623844

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Cô si.

Giải chi tiết

\(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 2\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2 - c\\{a^2} + {b^2} = 2 - {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2 - c\\{\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 2 - {c^2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {\left( {2 - c} \right)^2} - 2ab = 2 - {c^2} \Leftrightarrow - 2ab = - 2{c^2} + 4c - 2 \Leftrightarrow ab = {c^2} - 2c + 1 = {\left( {c - 1} \right)^2}\).

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {\left( {2 - c} \right)^2} \ge 4{\left( {c - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 4 - 4c + {c^2} \ge 4{c^2} - 8c + 4 \Leftrightarrow 3{c^2} - 4c \le 0 \Leftrightarrow 0 \le c \le \dfrac{4}{3}\).

\(c = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = 2\\{a^2} + {b^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1\).

\( \Rightarrow \min c = 0 \in \left( { - 1;1} \right)\).

\(c = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = 2 - \dfrac{4}{3}\\{a^2} + {b^2} = 2 - \dfrac{{16}}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow \max c = \dfrac{4}{3}\).

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.