1) Chứng minh rằng với \(n\) là số tự nhiên lẻ thì: \({3^{2n + 1}} - 1\) chia hết cho 20.2) Tìm các

Câu hỏi số 624259:

Vận dụng

1) Chứng minh rằng với \(n\) là số tự nhiên lẻ thì: \({3^{2n + 1}} - 1\) chia hết cho 20.

2) Tìm các cặp số nguyên dương sao cho: \(y\left( {{x^2} + x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {{y^2} - 1} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624259

Giải chi tiết

1) vì \({\rm{n}}\) là số tự nhiên lẻ, đặt \(n = 2k + 1\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow S = {3^{2n + 1}} - 7 = {3^{4k + 3}} - 7 = {81^k}.27 - 7\)

Nhận thấy, \(81 \equiv 1\left( {{\rm{mod}}20} \right) \Rightarrow S \equiv {1^k}.27 - 7 = 27 - 7 \equiv 0\left( {{\rm{mod}}20} \right)\)

Hay \(S\) chia hết cho 20 (điều phải chứng minh).

2) Phương trình tương đương với:

\(\begin{array}{l}y{x^2} + yx + y = x{y^2} + {y^2} - x - 1\\ \Leftrightarrow xy\left( {x - y} \right) + y\left( {x - y} \right) = - \left( {x + y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow y\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1 - y - 1} \right) = - \left( {x + 1 + y} \right).\end{array}\)

Đặt \(a = x + 1,a \ge 2\). phương trình tương đương với

\(ay\left( {y + 1 - a} \right) = a + y\)

Vì \(ay > 0\) và \(a + y > 0\) nên \(y + 1 - a > 0\).

Suy ra \(y + 1 - a \ge 1\).

Ta lại có \(\left( {a - 1} \right)\left( {y - 1} \right) \ge 1\) hay \(ay \ge a + y - 1 > \dfrac{{a + y}}{2}\) (do \(a + y \ge 3\) ).

Do đó, nếu \(y + 1 - a \ge 2\) thì \(ay\left( {y + 1 - a} \right) > a + y,{\rm{\;v\^o \;l\'y }}{\rm{.\;}}\)

Do đó, \(y + 1 - a = 1\) hay \(y = a\).

Khi đó, từ phương trình trên, ta cũng tìm ra được là \({a^2} = 2a\) hay \(a = 2\).

Như vậy, \(\left( {x,y} \right) = \left( {1,2} \right)\).

Cách 2: Ta biến đổi phương trình được: \({x^2}y = \left( {x + 1} \right)\left( {{y^2} - y - 1} \right)\left( 1 \right)\)

Do \(x,y > 0{y^2} - y - 1 > 0\)

Gọi \(d = \left( {{x^2},x + 1} \right) \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}} \Rightarrow d\left| {x + 1,{x^2} \Rightarrow d} \right|{x^2} - 1 \Rightarrow d\mid 1 \Rightarrow d = 1\)

Gọi \(e = \left( {y,{y^2} - y - 1} \right) \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}} \Rightarrow 1\mid e \Rightarrow e = 1\)

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow {x^2}y \vdots x + 1\), mà \(\left( {x + 1,{x^2}} \right) = 1 \Rightarrow y \vdots x + 1\left( 2 \right)\)

Lại từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow \left( {{y^2} - y - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \vdots y\), mà \(\left( {y,{y^2} - y - 1} \right) = 1 \Rightarrow x + 1:y\left( 3 \right)\)

Do \(x,y > 0\), kết hợp (2),(3) \( \Rightarrow x + 1 = y\)

Thay vào (1), ta có: \({x^2} = {y^2} - y - 1 = {(x + 1)^2} - \left( {x + 1} \right) - 1\)

\( \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link