1) Tìm hai số nguyên dương \(m,n\) sao cho \(\dfrac{{{m^3}}}{{m + n}}\) và \(\dfrac{{{n^3}}}{{m + n}}\) đều

Câu hỏi số 624260:

Vận dụng cao

1) Tìm hai số nguyên dương \(m,n\) sao cho \(\dfrac{{{m^3}}}{{m + n}}\) và \(\dfrac{{{n^3}}}{{m + n}}\) đều là các số nguyên tô.

2) Với \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(P = ab + 2bc + 3ca - 3abc\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624260

Giải chi tiết

1) Đặt \(\dfrac{{{m^3}}}{{m + n}} = p,\dfrac{{{n^3}}}{{m + n}} = q\). Khi đó, ta có

\(p + q = \dfrac{{{m^3} + {n^3}}}{{m + n}} = {m^2} - mn + {n^2}\)

Vì \({m^3} = p\left( {m + n} \right)\) nên \(p\mid {m^3}\) hay \(p\mid m\).

Do đó, ta suy ra \({p^3}\mid p\left( {m + n} \right)\) hay \({p^2}\mid m + n\) hay \(p\mid n\).

Do đó, ta suy ra

Vì \(p = q\) nên ta suy ra \(m = n\).

Khi đó, ta có \(p = q = \dfrac{{{m^2}}}{2}\).

Khi đó, ta dễ dàng chỉ ra \(p,q\) chỉ là số nguyên tố khi \(m = 2\).

Vậy \(m = n = 2\).

2) Ta có \(P = ab + 2bc + 3ca - 3abc \le 2b\left( {a + c} \right) + 3ca\left( {1 - b} \right).\)

Nếu \(b \ge 1\) thì \(P \le 2b\left( {a + c} \right) \le \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{2} = \dfrac{9}{2}\)

Nếu \(0 \le b \le 1\) thì ta có

\(\begin{array}{l}P \le 2b\left( {a + c} \right) + \dfrac{{3{{(a + c)}^2}\left( {1 - b} \right)}}{4}\\ = 2b\left( {3 - b} \right) + \dfrac{{3{{(3 - b)}^2}\left( {1 - b} \right)}}{4}\\ = \dfrac{{ - 1}}{4}b\left( {21 - 13b + 3{b^2}} \right) + \dfrac{{27}}{4} \le \dfrac{{27}}{4}.\end{array}\)

Do đó, ta suy ra \(P \le \dfrac{{27}}{4}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left( {a,b,c} \right) = \left( {\dfrac{3}{2},0,\dfrac{3}{2}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link