Cho tam giác \(ABC\) ngoại tiếp \(\left( I \right)\). (I) tiếp xúc \(BC,CA,AB\) tại lần lượt các
Cho tam giác \(ABC\) ngoại tiếp \(\left( I \right)\). (I) tiếp xúc \(BC,CA,AB\) tại lần lượt các điểm \(D,E,F\).
1) Gọi \(AI \cap DF = M\). Chứng minh rằng: \(CM \bot AI\).
2) Gọi \(AI \cap DE = N\). Chứng minh rằng: \(DM = DN\).
3) Các tiếp tuyến tại \(M,N\) của \(\left( {K;KM} \right)\) cắt nhau tại \(S\). Chứng minh rằng \(AS\parallel ID\)
Quảng cáo
1) Ta có: \(\angle {MDC} = \angle {FDB} = {90^ \circ } - \dfrac{{\angle B}}{2} = \angle {MIC}\).
Do đó: \(IDMC\) là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow \angle {IMC} = \angle {IDC} = {90^ \circ }\) hay \(CM \bot AI\).
2) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC\).
Gọi \(T\) là trung điểm \(AC\).
Ta có: \(\angle {MTA} = {180^ \circ } - 2\angle {IAC} = {180^ \circ } - \hat A = \angle {KTA}\)
\( \Rightarrow M,K,T\) thẳng hàng. Suy ra: \(KM\parallel AB\).
Vậy \(\overline {KMD} = \angle {DFB} = \angle {FDB} = \overline {KDM} \)
\( \Rightarrow KD = KM\).
Chứng minh tương tự thì: \(KN = KD\).
Do đó: \(KM = KN = KD\).
3) Ta có: \(\angle {DMN} = \dfrac{{\hat C}}{2}\) (do IDMC nội tiếp),
Do \(AHMC\) nội tiếp nên \(\angle {HMA} = \angle {HCA}\)
do đó \(MD\) là phân giác góc \(HMN\).
Tương tự thì: \(ND\) là phân giác góc \(HNM\)
Suy ra \(D\) là tâm nội tiếp tam giác \(HMN\).
Tương tự ý a) ta có \(\angle {BNA} = {90^ \circ }\)
Suy ra \(ABHN\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle {NHK} = \) \(\dfrac{{\hat A}}{2} = \angle {NMK}\)
\( \Rightarrow NHMK\) nội tiếp.
Ta có \(SNKM\) là tứ giác nội tiếp.
Do đó: \(S,H,N,K,M\) cùng thuộc 1 đường tròn.
Vậy ta có: \(\angle {SHK} = {90^ \circ }\) do đó: \(S,H,A\) thẳng hàng\( \Rightarrow AS\parallel ID\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
