Cho tập hợp \(A\) gồm 70 số nguyên dương không vượt quá 90 . Gọi \(B\) là tập hợp các số có

Câu hỏi số 624262:

Vận dụng cao

Cho tập hợp \(A\) gồm 70 số nguyên dương không vượt quá 90 . Gọi \(B\) là tập hợp các số có dạng \(x + y\) với \(x \in A\) và \(y \in A(x,y\) không nhất thiết phân biệt).

1) Chứng minh \(68 \in B\).

2) Chứng minh \(B\) chứa 91 số nguyên liên tiếp.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624262

Giải chi tiết

1) Vì có 70 số nằm trong đoạn [1,90] nên có ít nhất 40 số không nằm trong tập hợp \(\left\{ {34;68;69; \ldots ;90} \right\}\).

Xét 40 số này, theo nguyên lí dirichlet, tồn tại hai số \(x,y\) nằm trong cùng một bộ thuộc một trong các bộ sau \(\left( {1,67} \right);\left( {2,66} \right); \ldots ;\left( {33,35} \right)\)

Khi đó, ta có \(x + y = 68\) hay \(68 \in B\).

2) Thực hiện tương tự cách \(a\), ta chứng minh được \(\left\{ {43; \ldots ;133} \right\} \subset B\).

Thật vậy, ta chứng minh các số thuộc tập này thuộc \(B\).

- Với số \(43 \le t \le 90\). Khi đó, ta có \(\dfrac{t}{2}\) bộ \(\left( {x,y} \right)\) mà \(1 \le x,y \le 90\) sao cho \(x + y = t\).

Khi đó, theo nguyên lí Dirichlet, với \(t - 21\) số nằm trong tập từ 1 đến \(t - 1\) thì luôn tồn tại hai số nằm trong cùng một bộ.

Điều này đúng vì \(t - 21 \ge \dfrac{t}{2} + 1\) (ta lấy \(t - 21\) số từ 1 đến \(t - 1\) vì không xét đến \(91 - t\) số từ \(t\) đến 90)

- Với số \(91 \le t \le 133\) thì khi đó ta có \(\dfrac{t}{2} - \left( {t - 91} \right)\) bộ \(\left( {x,y} \right)\) mà \(1 \le x,y \le 90\) sao cho \(x + y = t\).

Khi đó, trong \(161 - t\) số từ \(t - 90\) đến 90 thì theo nguyên lí dirichlet, tồn tại 2 số cùng thuộc một bộ.

Điều này đúng vì \(161 - t \ge \dfrac{t}{2} - \left( {t - 91} \right) + 1 \Leftrightarrow 69 \ge \dfrac{t}{2}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link