Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \((x;y)\) thỏa mãn điều kiện \(x \le 2023\) và \(3\left( {{9^y} +

Câu hỏi số 624864:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \((x;y)\) thỏa mãn điều kiện \(x \le 2023\) và \(3\left( {{9^y} + 2y} \right) \le x + {\log _3}{(x + 1)^3} - 2?\)

A. 3870.

B. 4046.

C. 2023.

D. 3780.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624864

Phương pháp giải

Hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > - 1.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}3\left( {{9^y} + 2y} \right) \le x + {\log _3}{(x + 1)^3} - 2\\ \Leftrightarrow 3\left( {{3^{2y}} + 2y} \right) \le x + {\log _3}{(x + 1)^3} - 2\\ \Leftrightarrow {3^{2y + 1}} + 6y \le x + 3{\log _3}(x + 1) - 2\\ \Leftrightarrow {3^{2y + 1}} + 3\left( {2y + 1} \right) \le {3^{{{\log }_3}(x + 1)}} + 3{\log _3}(x + 1)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) ta có \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 3 > 0\,\,\forall t\), do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {2y + 1} \right) \le f\left( {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow 2y + 1 \le {\log _3}\left( {x + 1} \right) \le {\log _3}2024\\ \Leftrightarrow y \le \dfrac{{{{\log }_3}2024 + 1}}{2} \approx 2,96\end{array}\)

Mà y là số nguyên dương \( \Rightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

+) Với y = 1 ta có \({\log _3}\left( {x + 1} \right) \ge 3 \Leftrightarrow x \ge 26\).

Kết hợp điều kiện ta có \(26 \le x \le 2023 \Rightarrow \) có 1998 số nguyên dương x thoả mãn.

=> Có 1998 cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn.

+) Với y = 2 ta có \({\log _3}\left( {x + 1} \right) \ge 5 \Leftrightarrow x \ge 242\).

Kết hợp điều kiện ta có \(242 \le x \le 2023 \Rightarrow \) có 1782 số nguyên dương x thoả mãn.

=> Có 1782 cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn.

Vậy có tất cả 1998 + 1782 = 3780 cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.