Cho tam giác nhọn \({\rm{ABC}}({\rm{AB}} < {\rm{AC}})\) nội tiếp đường tròn \(\left( {\rm{O}} \right)\).

Câu hỏi số 625085:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \({\rm{ABC}}({\rm{AB}} < {\rm{AC}})\) nội tiếp đường tròn \(\left( {\rm{O}} \right)\). Gọi \({\rm{M}},{\rm{N}}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \({\rm{AB}},{\rm{AC}}\) Đường thẳng \({\rm{MN}}\) cắt \(\left( {\rm{O}} \right)\) tại các điểm \({\rm{P}},{\rm{Q}}({\rm{P}}\) thuộc cung nhỏ và \({\rm{Q}}\) thuộc cung nhỏ . Lấy điểm \({\rm{D}}\) trên cạnh \({\rm{BC}}\left( {{\rm{D}} \ne {\rm{B}};{\rm{D}} \ne {\rm{C}}} \right)\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \({\rm{BDP}}\) cắt \({\rm{AB}}\) tại điểm \({\rm{I}}\) ( \({\rm{I}}\) khác \({\rm{B}}\) ). Đường thẳng \({\rm{DI}}\) cắt \({\rm{AC}}\) tại \({\rm{K}}\).

1. Chứng minh rằng tứ giác AIPK nội tiếp.

2. Chứng minh rằng \(\dfrac{{{\rm{PK}}}}{{{\rm{PD}}}} = \dfrac{{{\rm{QB}}}}{{{\rm{QA}}}}\).

3. Đường thẳng \({\rm{CP}}\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \({\rm{BDP}}\) tại \({\rm{G}}({\rm{G}}\) khác \({\rm{P}})\). Đường thẳng \({\rm{IG}}\) cắt đường thẳng \({\rm{BC}}\) tại điểm \({\rm{E}}\). Chứng minh rằng khi điểm \({\rm{D}}\) di chuyển trên cạnh BC thì tỉ số \(\dfrac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CE}}}}\) không đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625085

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1. Chứng minh rằng tứ giác \({\rm{AIPK}}\) nội tiếp

Do tứ giác BDIP nội tiếp nên \(\widehat {{\rm{PIK}}} = {180^ \circ } - \widehat {{\rm{PID}}} = \widehat {{\rm{PBC}}}\).

Lai do tứ giác \({\rm{APBC}}\) nội tiếp nên \(\widehat {{\rm{PAK}}} = {180^ \circ } - \widehat {{\rm{PAC}}} = \widehat {{\rm{PBC}}}\).

Suy ra \(\widehat {{\rm{PIK}}} = \widehat {{\rm{PAK}}}\).

Do đó tứ giác AIPK nội tiếp.

2. Chứng minh rằng \(\dfrac{{{\rm{PK}}}}{{{\rm{PD}}}} = \dfrac{{{\rm{QB}}}}{{{\rm{QA}}}}\).

Do các tứ giác \({\rm{AIPK}}\) và \({\rm{BDIP}}\) nội tiếp nên \(\widehat {{\rm{PKI}}} = \widehat {{\rm{PAI}}}\) và \(\widehat {{\rm{PDI}}} = \widehat {{\rm{PBI}}}\).

Suy ra , do đó \(\dfrac{{PK}}{{PA}} = \dfrac{{PD}}{{PB}} \Rightarrow \dfrac{{PK}}{{PD}} = \dfrac{{PA}}{{PB}}\) (1)

Lại do tứ giác \(APBQ\) nội tiếp nên \(\widehat {{\rm{MPB}}} = \widehat {{\rm{MAQ}}}\) và \(\widehat {{\rm{MBP}}} = \widehat {{\rm{MQA}}}\).

Suy ra , do dó \(\dfrac{{PB}}{{AQ}} = \dfrac{{MP}}{{MA}}\) (2)

Tương tự, , suy ra \(\dfrac{{AP}}{{QB}} = \dfrac{{MP}}{{MB}} = \dfrac{{MP}}{{MA}}(\) do \(MA = MB)\) (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra \(\dfrac{{PB}}{{AQ}} = \dfrac{{AP}}{{QB}} \Rightarrow \dfrac{{QB}}{{QA}} = \dfrac{{PA}}{{PB}}\) (4)

Từ ( 1 ) và (4) ta đi đến \(\dfrac{{PK}}{{PD}} = \dfrac{{QB}}{{QA}}\).

3. Do các tứ giác \({\rm{BDGI}}\) và \({\rm{APBC}}\) nội tiếp nên \(\widehat {{\rm{PGI}}} = \widehat {{\rm{PBI}}}\) và \(\widehat {{\rm{PBA}}} = \widehat {{\rm{PCA}}}\), suy ra \(\widehat {{\rm{PGI}}} = \widehat {{\rm{PCA}}}.\)

Do đó IG \(//{\rm{AC}}\) và \(\dfrac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CE}}}} = \dfrac{{{\rm{KD}}}}{{{\rm{KI}}}}\) (5)

Trên cạnh \({\rm{AB}}\), lấy điểm \({\rm{J}}\) sao cho \(\widehat {{\rm{KPI}}} = \widehat {{\rm{APJ}}}\).

Vì tứ giác \({\rm{AIPK}}\) nội tiếp nên \(\widehat {{\rm{KPI}}} = {180^ \circ } - \widehat {KAI} = \widehat {{\rm{BAC}}}\) không đổi, vì thế \({\rm{J}}\) là điểm cố định, nghĩa là tì số \(\dfrac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AJ}}}}\) không đổi. (6)

Lại vì \({\rm{\Delta PKI}} - {\rm{\Delta PAJ}}\left( {{\rm{g}}.{\rm{g}}} \right) \Rightarrow \dfrac{{{\rm{PK}}}}{{{\rm{PA}}}} = \dfrac{{{\rm{KI}}}}{{{\rm{AJ}}}}\)

Ta có

Suy ra \(\dfrac{{KI}}{{AJ}} = \dfrac{{KD}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{KD}}{{KI}} = \dfrac{{AB}}{{AJ}}\) (7)

Từ (5) và (7) dẫn đến \(\dfrac{{CD}}{{CE}} = \dfrac{{AB}}{{AJ}}\).

Vậy khi \(D\) di chuyển trên \(BC\) thì \(\dfrac{{CD}}{{CE}}\) không đổi.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link