Cho bất phương trình \(m{.3^{x + 1}} + (3m + 2).{(4 - \sqrt 7 )^x} + {(4 + \sqrt 7 )^x} > 0\), với \(m\) là
Cho bất phương trình \(m{.3^{x + 1}} + (3m + 2).{(4 - \sqrt 7 )^x} + {(4 + \sqrt 7 )^x} > 0\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m \in ( - 2022;2023)\) để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in ( - \infty ;0]\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có:
\(\begin{array}{l}m{.3^{x + 1}} + (3m + 2).{(4 - \sqrt 7 )^x} + {(4 + \sqrt 7 )^x} > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3}} \right)^x} + (3m + 2){\left( {\dfrac{{4 - \sqrt 7 }}{3}} \right)^x} + 3m > 0\end{array}\)
Đăt \(t = {\left( {\dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3}} \right)^x} \Rightarrow \dfrac{1}{t} = {\left( {\dfrac{{4 - \sqrt 7 }}{3}} \right)^x}\).Do \(x \in ( - \infty ;0] \Rightarrow t \in (0;1]\).
Ta được bất phương trình \({t^2} + 3mt + (3m + 2) > 0\)
Bài toán đưa về tìm \(m\) nguyên \(m \in ( - 2022;2023)\) để bất phương trình \({t^2} + 3mt + (3m + 2) > 0\) đã cho nghiệm đúng với mọi \(t \in (0;1]\).
\({t^2} + 3mt + (3m + 2) > 0 \Leftrightarrow - 3m < \dfrac{{{t^2} + 2}}{{t + 1}},(t \in (0;1])\)
Đặt \(h(t) = \dfrac{{{t^2} + 2}}{{t + 1}} \Rightarrow h'(t) = \dfrac{{{t^2} + 2t - 2}}{{{{(t + 1)}^2}}}\).
Giải \(h'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 1 + \sqrt 3 \in (0;1]}\\{t = - 1 - \sqrt 3 \notin (0;1]}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy để bất phương trình luôn đúng với mọi \(t \in (0;1]\) điều kiện là
\( - 3m < - 2 + 4\sqrt 3 \Rightarrow m > \dfrac{{2 - 4\sqrt 3 }}{3} \approx - 1.64\).
Do m nguyên \(m \in ( - 2022;2023)\) nên có 2024 giá trị thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
