Giả sử đồ thị hàm số \(y = \left( {{m^2} + 1} \right){x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + 1\) có 3 điểm cực
Giả sử đồ thị hàm số \(y = \left( {{m^2} + 1} \right){x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + 1\) có 3 điểm cực trị là A, B, C mà \({x_A} < {x_B} < {x_C}\). Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
\(\begin{array}{l}y = \left( {{m^2} + 1} \right){x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + 1 \Rightarrow y' = 4\left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 4mx\\y' = 0 \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = \dfrac{m}{{{m^2} + 1}}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Để hàm số có 3 điểm cực trị điều kiện là: \(m > 0\).
Gọi \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - \dfrac{m}{{{m^2} + 1}} = 0\).
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là
\(A\left( {{x_1}; - mx_1^2 + {m^2} + 1} \right),B\left( {0;{m^2} + 1} \right),C\left( {{x_2}; - mx_2^2 + {m^2} + 1} \right)\)
Khi tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay Goi I là trung điểm của AC.
Khối tròn xoay gồm 2 khối nón đối xứng với nhau qua mặt đáy của nón.
Thể tích khối tròn xoay \(V = 2{V_{non}} = \dfrac{2}{3}\pi {\left( {IB} \right)^2}.IC\).
Ta có \(IC = \dfrac{{AC}}{2} = \sqrt {\dfrac{m}{{{m^2} + 1}}} ,I{B^2} = {\left( {mx_2^2} \right)^2} = {m^2}.{\left( {\dfrac{m}{{{m^2} + 1}}} \right)^2}\)
\(V = 2{V_{{\rm{n\'o n }}}} = \dfrac{2}{3}\pi {m^2} \cdot \dfrac{{{m^2}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\sqrt {\dfrac{m}{{{m^2} + 1}}} = \dfrac{2}{3}\pi \sqrt {\dfrac{{{m^9}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^5}}}} \)
+ Xét hàm số \(f(m) = \dfrac{{{m^9}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^5}}}\)
Có: \(f'(m) = \dfrac{{{m^8}\left( {9 - {m^2}} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^6}}};\,\,\,f'(m) = 0 \Leftrightarrow m = 3\,\,\,(m > 0)\)
Ta có BBT:
Vậy \(m = 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
