Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = x{e^x},\forall x \in \mathbb{R}\)

Câu hỏi số 626114:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = x{e^x},\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 5\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \(F\left( 0 \right) = 6\).

B. \(F\left( 0 \right) = - 5\).

C. \(F\left( 0 \right) = - 1\).

D. \(F\left( 0 \right) = 4\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:626114

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên hàm từng phần để tìm \(y = f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\,\, \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = x{e^x},\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = \int {x{e^x}dx} = \int {xd{e^x}} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} - {e^x} + C\).

Mà \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 0 - {e^0} + C = 1 \Leftrightarrow C = 2\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = x{e^x} - {e^x} + 2\).

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\,\, \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) \Rightarrow \int\limits_0^2 {\left( {x{e^x} - {e^x} + 2} \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\) .

\( \Rightarrow \left. {\left( {x{e^x} - {e^x} - {e^x} + 2x} \right)} \right|_0^2 = 5 - F\left( 0 \right) \Leftrightarrow \left( {2{e^2} - 2{e^2} + 4} \right) - \left( {0 - 1 - 1 + 0} \right) = 5 - F\left( 0 \right) \Leftrightarrow F\left( 0 \right) = - 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.