Cho hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(S\), đường cao \(SO\), \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc

Câu hỏi số 626115:

Vận dụng

Cho hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(S\), đường cao \(SO\), \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(\widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối nón \(\left( N \right)\).

A. \(V = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}\pi }}{6}\).

B. \(V = \dfrac{{\sqrt 2 {a^3}\pi }}{3}\).

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\pi }}{4}\).

D. \(V = \dfrac{{\sqrt 2 {a^3}\pi }}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:626115

Phương pháp giải

Thể tích \(V\) của khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO\).

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB, kẻ OI vuông góc SH tại I.

\( \Rightarrow OI \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác SAB cân tại S có \(\widehat {SAB} = {60^0}\,\, \Rightarrow \Delta SAB\) đều.

Giả sử \(SA = SB = AB = x \Rightarrow SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác SOA vuông tại O \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = SA.\sin A = x.\sin {30^0} = \dfrac{1}{2}x\\OA = SA.\cos A = x\cos {30^0} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

Tam giác SOH vuông tại O \( \Rightarrow OH = \sqrt {S{H^2} - S{O^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{x^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Lại có: \(OI.SH = OS.OH \Rightarrow \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{x}{2}.\dfrac{{x\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ax}}{2} = \dfrac{{{x^2}\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow x = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\OA = \dfrac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\).

Thể tích \(V\) của khối nón \(\left( N \right)\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.