Trong không gian \(Oxyz\), cho 4 điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( {0;4;2} \right),C\left( {1;2; - 1}

Câu hỏi số 626117:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho 4 điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( {0;4;2} \right),C\left( {1;2; - 1} \right),D\left( {7;2;1} \right)\). Điểm \(M\) di chuyển trên trục \(Ox\). Đặt \(P = 4\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 6\left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\). Tính giá trị nhỏ nhất của \(P\)?

A. \({P_{\min }} = 12\sqrt {10} \).

B. \({P_{\min }} = 60\sqrt 2 \).

C. \({P_{\min }} = 12\sqrt {34} \).

D. \({P_{\min }} = 48\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:626117

Phương pháp giải

G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).

I là trung điểm của CD \( \Rightarrow \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI} \).

Giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm của CD.

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) và \(\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI} \), đồng thời: \(G\left( {1;3;0} \right),I\left( {4;2;0} \right)\).

Khi đó: \(P = 4\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 6\left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 4\left| {3\overrightarrow {MG} } \right| + 6\left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 12\left( {MG + MI} \right)\).

\(M \in Ox \Rightarrow \) Giả sử \(M\left( {m;0;0} \right)\).

\( \Rightarrow P = 12\left( {\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + {3^2} + {0^0}} + \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + {2^2} + {0^2}} } \right) = 12\left( {\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + {3^2}} + \sqrt {{{\left( {4 - m} \right)}^2} + {2^2}} } \right)\) \( \ge 12\sqrt {{{\left( {m - 1 + 4 - m} \right)}^2} + {{\left( {3 + 2} \right)}^2}} = 12.\sqrt {9 + 25} = 12\sqrt {34} \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{m - 1}}{3} = \dfrac{{4 - m}}{2} \Leftrightarrow 2m - 2 = 12 - 3m \Leftrightarrow 5m = 14 \Leftrightarrow m = \dfrac{{14}}{5}\).

Vậy, \({P_{\min }} = 12\sqrt {34} \) khi \(M\left( {\dfrac{{14}}{5};0;0} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.