Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({5^{y + 1}} + y - {\log _5}\left( {x +

Câu hỏi số 626118:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({5^{y + 1}} + y - {\log _5}\left( {x + 2} \right) \le \dfrac{{x - 8}}{5}\) và \(x < 2023\)?

A. 3302.

B. 3296.

C. 3300.

D. 3298.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:626118

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của BPT.

Giải chi tiết

Ta có:

\({5^{y + 1}} + y - {\log _5}\left( {x + 2} \right) \le \dfrac{{x - 8}}{5} \Leftrightarrow {5^{y + 1}} + y + 1 \le {\log _5}\left( {x + 2} \right) + \dfrac{{x - 8}}{5} + 1\)\( \Leftrightarrow {5^{y + 1}} + y + 1 \le {\log _5}\left( {\dfrac{{x + 2}}{5}} \right) + \dfrac{{x + 2}}{5}\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} + t\), có: \(f'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 + 1 > 0,\forall t\). \( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó: (*) tương đương: \(y + 1 \le {\log _5}\dfrac{{x + 2}}{5} \Rightarrow y + 1 < {\log _5}\dfrac{{2023 + 2}}{5} = {\log _5}405,\forall x < 2023\).

\( \Rightarrow y < {\log _5}405 - 1 \approx 2,7\).

Mà y nguyên dương \( \Rightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

+) \(y = 1 \Rightarrow \) (*) \( \Leftrightarrow \)\(1 + 1 \le {\log _5}\dfrac{{x + 2}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2}}{5} \ge 25 \Leftrightarrow x \ge 123\).

Mà x nguyên và \(x < 2023 \Rightarrow x \in \left\{ {123;124;...;2022} \right\}\) : 1900 giá trị.

+) \(y = 2 \Rightarrow \) (*) \( \Leftrightarrow \)\(2 + 1 \le {\log _5}\dfrac{{x + 2}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2}}{5} \ge 125 \Leftrightarrow x \ge 623\).

Mà x nguyên và \(x < 2023 \Rightarrow x \in \left\{ {623;624;...;2022} \right\}\) : 1400 giá trị.

Do vậy, số cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 1900 + 1400 = 3300 (cặp).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.