Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M

Câu hỏi số 627450:

Vận dụng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho \(MO = \dfrac{1}{2}MI\). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng

A. \(\dfrac{{17\sqrt {13} }}{{65}}\).

B. \(\dfrac{{6\sqrt {85} }}{{85}}\).

C. \(\dfrac{{6\sqrt {13} }}{{65}}\).

D. \(\dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627450

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ Oxyz, sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( {MC'D'} \right),\left( {MAB} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\), với \(\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là hai VTPT của hai mặt phẳng (MC’D’), (MAB).

Giải chi tiết

Đặt cạnh hình lập phương bằng 1.

Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có:

A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), B’(1;0;1), C’(1;1;1), D’(0;1;1).

O là trung điểm của AC’ \( \Rightarrow O\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).

I là trung điểm của A’C’ \( \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OI} \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}.0 \Leftrightarrow {x_M} = \dfrac{1}{2}\\{y_M} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}.0 \Leftrightarrow {y_M} = \dfrac{1}{2}\\{z_M} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {y_M} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{6}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MC'} = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{6}} \right),\,\,\overrightarrow {MD'} = \left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{6}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = {\overrightarrow n _{\left( {MC'D'} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MC'} ,\overrightarrow {MD'} } \right] = \left( {0; - \dfrac{5}{6};\dfrac{1}{2}} \right)\\\overrightarrow {MA} = \left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{6}} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{6}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = {\overrightarrow n _{\left( {MAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } \right] = \left( {0; - \dfrac{1}{6};\dfrac{1}{2}} \right)\end{array}\)

Suy ra \(\cos \left( {\left( {MC'D'} \right),\left( {MAB} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{5}{{36}} + \dfrac{1}{4}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{{25}}{{36}} + \dfrac{1}{4}} .\sqrt {\dfrac{1}{{36}} + \dfrac{1}{4}} }} = \dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.