Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2}

Câu hỏi số 627575:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + mx + 9} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - x} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)?

A. 6.

B. 5.

C. 7.

D. 8.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627575

Phương pháp giải

Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) \ge 0\). Dấu xảy ra tại hữu hạn điểm

Giải chi tiết

Ta có: \(g'\left( x \right) = - f'\left( {3 - x} \right) = - \left( {3 - x} \right)\left( {2 - x} \right)\left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + m\left( {3 - x} \right) + 9} \right]\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(g\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \left( {3 - x} \right)\left( {2 - x} \right)\left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + m\left( {3 - x} \right) + 9} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {2 - x} \right)\left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + m\left( {3 - x} \right) + 9} \right] \ge 0\\\forall x \in \left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow \left( {3 - x} \right) \le 0,\,\,{\left( {2 - x} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {3 - x} \right)^2} + m\left( {3 - x} \right) + 9 \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{{\left( {3 - x} \right)}^2} + 9}}{{x - 3}},\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {Min}\limits_{\left( {3; + \infty } \right)} \dfrac{{{{\left( {3 - x} \right)}^2} + 9}}{{x - 3}}\end{array}\)

Ta có: \(\dfrac{{{{\left( {3 - x} \right)}^2} + 9}}{{x - 3}} = \left( {x - 3} \right) + \dfrac{9}{{x - 3}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 3} \right).\dfrac{9}{{x - 3}}} = 6\)

Do đó \(m \le 6\). Mà \(m \in \mathbb{N}* \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.