Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\)trên

Câu hỏi số 627586:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\)trên mặt đáy là trung điểm \(H\) của cạnh \(AB\). Biết \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).

B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{{16}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627586

Phương pháp giải

- Kẻ \(HK \bot SC\,\,\left( {K \in SC} \right)\)

- Tính \(HK\) theo 2 cách từ đó tính được \(CH\)

- Tính thể tích khối chóp

Giải chi tiết

Gọi cạnh tam giác \(ABC\) là \(x\,\,\left( {x > 0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AB\\CH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow AB \bot SC\)

Kẻ \(HK \bot SC\,\,\left( {K \in SC} \right)\)

Khi đó \(SC \bot \left( {AKB} \right) \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \angle AKB \Rightarrow \angle AKB = {90^0} \Rightarrow HK = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{x}{2}\)

Ta có: \(HK = \dfrac{{CH.SH}}{{\sqrt {C{H^2} + S{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{x^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 ax}}{{2\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}\)

Do đó \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 ax}}{{2\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} \Leftrightarrow 3{x^2} = {x^2} + {a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \)

Suy ra \({S_{ABC}} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Thể tích khối chóp là \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{4}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.