Cho \(a,\,\,b > 0\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {\log _5}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + {\log _5}\left(

Câu hỏi số 627827:

Vận dụng

Cho \(a,\,\,b > 0\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {\log _5}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + {\log _5}\left( {\dfrac{8}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\) bằng

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(\dfrac{3}{2}\).

D. \(\dfrac{5}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627827

Phương pháp giải

- Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\\{\log _a}\left( {{x^\alpha }} \right) = \alpha {\log _a}x\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right)\end{array} \right.\)

- Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\log _5}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + {\log _5}\left( {\dfrac{8}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\\\,\,\,\,\, = {\log _5}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\left( {\dfrac{8}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = {\log _5}\left( {\dfrac{8}{a}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \dfrac{1}{b}\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)\\\,\,\,\,\, = {\log _5}\left( {\sqrt {64 + 64{{\left( {\dfrac{b}{a}} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2} + 1} } \right)\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = \sqrt {64 + 64{t^2}} + \sqrt {\dfrac{1}{{{t^2}}} + 1} ,\,\,t > 0\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{t}{{\sqrt {64 + 64{t^2}} }} - \dfrac{1}{{{t^3}\sqrt {\dfrac{1}{{{t^2}}} + 1} }}\).

Giải \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow f\left( t \right) \ge f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 5\sqrt 5 \).

Do đó \(P \ge {\log _5}\left( {5\sqrt 5 } \right) = \dfrac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = 2b\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.