Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( x

Câu hỏi số 627830:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = - x.{f^2}\left( x \right),\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) biết \(f\left( 1 \right) = \dfrac{2}{{a + 3}}\) và \(f\left( 2 \right) > \dfrac{1}{4}\). Tổng tất cả các giá trị nguyên của \(a\) thỏa mãn là

A. \(1\).

B. \( - 2\).

C. \( - 14\).

D. \(0\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627830

Phương pháp giải

- Biến đổi đưa về dạng \(u'\left( x \right) = v\left( x \right)\)

- Lấy nguyên hàm hai vế và dựa vào giả thiết tìm được \(u'\left( x \right) = v\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = - x.{f^2}\left( x \right),\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = x \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)'} = x \Rightarrow \int {{{\left( {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)}'}} = \int {xdx} \Rightarrow \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + C\)

Do \(f\left( 1 \right) = \dfrac{2}{{1 - 2c}} = \dfrac{2}{{a + 3}} \Leftrightarrow 1 - 2c = a + 3 \Leftrightarrow - 2c = a + 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^2} + a + 2}}\)

Theo giả thiết \(f\left( 2 \right) > \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{a + 6}} > \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow a < 2\)

Hơn nữa \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x^2} + a + 2 > 0,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow a + 2 \ge 0 \Leftrightarrow a \ge - 2\)

Do đó \( - 2 \le a < 2\)

Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\} \Rightarrow \sum a = - 2\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.